2002　東京工業大学　後期小論文第４類MathJax

【２】　図１(a)に示すように方眼紙に$xy$平面をとり，点$(0,0)\text{，}(7,0)\text{，}(7,7)$となる$3$つの点をそれぞれ点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$として直角三角形$\mathrm{ABC}$を描く．そして十分に長いひも，ペン，$1$から$6$までの目が振られた正六面体のサイコロを用意し，次の手順で図形遊びをしてみよう．

(ⅰ)　三角形の境界を含まない内部に任意の点を選択し，${\mathrm{P}}_0$と名付ける．

(ⅱ)　頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の何れかを選び，その頂点と${\mathrm{P}}_0$を結ぶ線分をひもで作成し，線分の中点の位置をペンで方眼紙に記録し，この点を${\mathrm{P}}_1$と名付けて，ひもを方眼紙から離す．（図１(b)は一例を示している）

(ⅲ)　手順(ⅱ)と同様に頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の何れかを選び，その頂点と方眼紙上の$i$番目の点${\mathrm{P}}_i$を結ぶ線分をひもで作成し，線分の中点${\mathrm{P}}_{i+1}$の位置をペンで方眼紙に記録した後，ひもを方眼紙から離す．（$2$回目以降の点）

(ⅳ)　手順(ⅲ)を繰り返す．

このとき以下の問いに答えよ．

問１　任意の位置の点${\mathrm{P}}_0$と何れの頂点を選択しても点${\mathrm{P}}_1$が打たれない領域が三角形の内部にある．この領域を図示せよ．

問２　同様に任意の位置の点${\mathrm{P}}_0$と何れの頂点を選択しても点${\mathrm{P}}_2$が打たれない領域が三角形の内部にある．この領域を図示せよ．

問３　$i$回目に打たれた点${\mathrm{P}}_i(x_i,y_i)$と$i+1$回目の点${\mathrm{P}}_{i+1}(x_{i+1},y_{i+1})$の関係を，他端が頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$のそれぞれの場合について数式で表せ．

問４　手順(ⅲ)において頂点を選択する前に，サイコロを振って$1$または$2$の目が出たら頂点$\mathrm{A}$を選択し，$3$または$4$の目が出たら頂点$\mathrm{B}\text{，}5$または$6$の目が出たら頂点$\mathrm{C}$を選択することにする．多くの点を打った場合に画用紙に描かれる図形の概略図を図２(a)〜(d)から$1$つ選択せよ．

問５　問４のケースとは異なり，手順(ⅲ)において頂点を選択する際に，頂点$\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{A}\cdots$のように順番に頂点を選択して多くの点を打った場合に画用紙に無限に点を打った場合に画用紙に描かれる図形はどのようなものとなるか根拠を示して論述せよ．