2002　東京工業大学　後期小論文第５類MathJax

【１】問１　$1$から$6$の目が等確率で出るサイコロを振り続け，各時点でのそれまでに出た目の総和を考える．例えば，出たサイコロの目が最初から順に$4\text{，}1\text{，}3\text{，}6\text{，}\cdots$ならば，各時点でのそれまでに出た目の総和は$4\text{，}5\text{，}8\text{，}14\text{，}\cdots$となる．いずれかの時点でそれまでに出た目の総和が$n$（ただし$n\geqq 1$）になる確率，すなわち上のような目の総和を表す数列に$n$が現れる確率を$P_n$とする．このとき，任意の$n\text{（}\geqq 7\text{）}$について以下の関係式が成り立つ理由を説明せよ．

$P_n={\displaystyle \frac{P_{n-1}+P_{n-2}+P_{n-3}+P_{n-4}+P_{n-5}+P_{n-6}}{6}}$

問２　$1$から$6$の目が等確率で出るサイコロを用い，以下のようなゲームを$2$人で行う．

(ⅰ)　各自がサイコロ$1$つを繰り返し振る．それまでに自分が出した目の総和が$8$未満ならさらにサイコロを振り，$14$以上なら振るのをやめなければならない．$8$以上$14$未満のときには，さらに降り続けるかどうかを自分で決めてよい．

(ⅱ)　各自がサイコロを振るのをやめるまでに出した目の総和が$14$以上のときには得点は$0$点とし，$8$以上かつ$14$未満のときには目の総和を得点とする．

(ⅲ)　得点の多い者を勝ち，少ない者を負けとし，得点が同じであれば引き分けとする．

「それまでに出たサイコロの目の総和が$N$に満たない場合はさらにサイコロを振り，$N$以上になったら振るのをやめる」という戦略を$S_N$（ただし$8\leqq N\leqq 13$）と呼ぶことにする．以下の(a)から(d)の問いに答えよ．

(a)　戦略$S_N$を採用した場合の自分の得点の期待値を$E_N$とする．$E_N$が最大になる$N$はいくつか，理由とともに答えよ．

（ヒント：$E_N$を実際に計算するのではなく，戦略$S_N$を採用した場合と$S_{N+1}$を採用した場合とで得点が異なるのはどのようなときかを考え，$E_N$と$E_{N+1}$の差を考察せよ．）

(b)　相手の得点が$11$点であるときに自分が戦略$S_N$を採用した場合の$\text{「（勝つ確率）}-\text{（負ける確率）」}$を$D_N$とする．$D_N$が最大になる$N$はいくつか．理由とともに答えよ．

(c)　相手の得点はわからないとする．このとき，相手が戦略$S_{13}$を採用し，自分が戦略$S_N$を採用する場合の$\text{「（勝つ確率）}-\text{（負ける確率）」}$を${D_N}^{\prime }$とする．${D_N}^{\prime }$が最大になる$N$いくつか，理由とともに答えよ．

(d)　相手の得点はわからないとする．相手が戦略$S_8$を採用するとき，戦略$S_9$と戦略$S_{10}$のどちらを自分が採用すれば$\text{「（勝つ確率）}-\text{（負ける確率）」}$がより大きくなるか，理由とともに答えよ．