2002　お茶の水女子大学　前期共通MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　$1$から$2002$までの自然数のうち，$45$で割ったときの余りが$45$で割ったときの商より小さいものはいくつあるか．

(2)　$100$から$999$までの自然数のうち

$(\text{一の位の数字})<(\text{百の位の数字})\leqq (\text{十の位の数字})$

となるのものはいくつあるか．

(3)　$100$から$999$までの自然数のうち

$(\text{百の位の数字})\leqq (\text{十の位の数字})\text{または}(\text{百の位の数字})>(\text{一の位の数字})$

となるものはいくつあるか．

【２】　複素数$z$と$w$の間には

$w={\displaystyle \frac{2z-1}{z-2}}$

の関係がある．$z$が複素数平面の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上を動くとき，$w$の描く図形を求めよ．

【３】　関数$f(x)=x^3-2x^2+x$について以下の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(2)　直線$y=kx$と $y=f(x)$の共有点の個数を$k$の値に応じて求めよ．

【２】　複素数平面上に$3$点$\mathrm{A}=1+i\text{，}\mathrm{B}=i\text{，}\mathrm{C}=1$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$を考える．ただし，$i$は虚数単位を表す．

(1)　点$z$が三角形$\mathrm{ABC}$の周上を動くとき，$i{z}^2$はどんな図形上を動くか．図示せよ．

(2)　(1)で定められた図形で囲まれた領域の面積を求めよ．

【３】　長さ$n$（$n$は$3$以上の整数）の$\stackrel{\text{ひも}}{\text{紐}}$があり，一端から長さ$1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n-1$の所に目印がついている．これらを目印$1\text{，}$目印$2\text{，}\cdots \text{，}$目印$n-1$と呼ぶことにする．

　袋の中に○印のカードと×印のカードが多数入っている．袋からカードを取り出してはもどすという操作を$n-1$回行う．ただし，$k$回目$\text{（}1\leqq k\leqq n-1\text{）}$に取り出したときのカードが，

• (ⅰ)　○印なら何もせずカードを袋にもどす；
• (ⅱ)　×印なら$\stackrel{\text{ひも}}{\text{紐}}$の目印$k$のところにハサミを入れて切り，カードを袋にもどす．

　この袋から$1$枚カ−ドを取り出した時，○印のカードを引く確率は$p$であるとする．以下の問いに答えよ．

(1)　上の$n-1$回の操作が終わった後にちょうど$r$本の$\stackrel{\text{ひも}}{\text{紐}}$の断片に切り分けられている確率を求めよ．

(2)　上の$n-1$回の操作後の断片数の期待値を$E(n)$とおく．$E(n)$は次の漸化式を満たしていることを示せ：

$E(n+1)=E(n)+1-p$．

(3)　期待値$E(n)$を$n$と$p$の式で表せ．