2002　お茶の水女子大学　前期理学部選択MathJax

【１】　数列$\left\{x_i\right\}$が次の漸化式を満たしている．

$x_{i+1}={\displaystyle \frac{{x_i}^2+1}{2}}\text{（}i=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　すべての自然数$i$に対して，$x_{i+1}\geqq x_i$が成り立つことを示せ．

(2)　$|x_1|\leqq 1$のとき，すべての自然数$i$に対して$x_i\leqq 1$であることを示せ．

(3)　自然数$n$に対して，等式

$x_{n+1}-x_1={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \sum _{i=1}^n}{(x_i-1)}^2$

が成り立つことを示せ．

(4)　$|x_1|\leqq 1$のとき，

$x_{n-1}-x_1\geqq {\displaystyle \frac{n}{2}}{(x_n-1)}^2$

が成り立つことを示せ．

(5)　初項$x_1$の値に応じて，数列$\{x_i\}$の収束，発散について調べ，収束するときは極限値を求めよ．

【２】　関数$f(x)=a{e}^x\sin x+e^{-x}\cos x$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$a=1$のとき$-\pi \leqq x\leqq \pi$の範囲で$y=f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．グラフの凹凸を調べることまではしなくてよい．

(2)　$I={\displaystyle {\int }_0^b}f(x)dx$の値を求めよ．

(3)　$b=\pi$のとき，$I=0$となる$a$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$m$を自然数とする．定積分${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}x\sin mxdx$の値を求めよ．

(2)　$m\text{，}n$を自然数とする．定積分${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}\sin mx\sin nxdx$の値を求めよ．

(3)　$a\text{，}b$を実数とする．定積分$I={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{(x-a\sin x-b\sin 2x)}^{2}dx$を計算せよ．

(4)　(3)において$a\text{，}b$を変化させたときの$I$の最小値，およびそのときの$a\text{，}b$の値を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$を展開せよ．

(2)　次の関係式を満たす実数の組$(\alpha ,\beta )$をすべて求めよ．

$\alpha \beta =12\text{，}{\alpha }^3+{\beta }^3=91$

(3)　次の方程式の解をすべて求めよ．必要ならば，(1)，(2)を利用せよ．

$x^3-36x+91=0$