2002　一橋大学　前期MathJax

【１】　$k\text{，}x\text{，}y$は正の整数とする．三角形の$3$辺の長さが${\displaystyle \frac{k}{x}}\text{，}{\displaystyle \frac{k}{y}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{xy}}$で，周の長さが${\displaystyle \frac{25}{16}}$である．$k\text{，}x\text{，}y$を求めよ．

【２】　$r>0$とし，$\alpha =r(\cos \theta +i\sin \theta )$とおく．任意の角$\theta$に対し，複素数平面上で点$\alpha +{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$と実軸との距離は$2$以下である．$r$のとりうる範囲を求めよ．

【３】　$a\text{，}b\text{，}c$は$0$以上の実数とする．$3$点$(a,0)\text{，}\mathrm{B}(0,b)\text{，}\mathrm{C}(1,c)$は，$\angle \mathrm{ABC}=30°\text{，}\angle \mathrm{BAC}=60°$をみたす．

(1)　$c$を求めよ．

(2)　$\mathrm{AB}$の長さの最大値と最小値を求めよ．

【４】　頂点が$z$軸上にあり，底面が$xy$平面上の原点を中心とする円である円すいがある．この円すいの側面が，原点が中心とする半径$1$の球に接している．

(1)　円すいの表面積の最小値を求めよ．

(2)　円すいの体積の最小値を求めよ．

【５】　最初の試行で$3$枚の硬貨を投げ，裏が出た硬貨を取り除く．次の試行で残った硬貨を同時に投げ，裏が出た硬貨を取り除く．以下この試行をすべての硬貨が取り除かれるまで繰り返す．

(1)　試行が$1$回めで終了する確率$p_1\text{，}$および$2$回めで終了する確率$p_2$を求めよ．

(2)　試行が$n$回以上行われる確率$q_n$を求めよ．