2002　一橋大学　後期MathJax

【１】　 $a\text{，}b$は正の実数とする．絶対値が$1$以下の任意の複素数$z$に対して$x^2+az+b\ne 0$となるための$a\text{，}b$の条件を求めよ．また，この条件をみたす点$(a,b)$の範囲を図示せよ．

【２】　空間内に定点$\mathrm{A}(1,1,1)$がある．$xy$平面上に原点を中心とする半径$1$の円があり，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$はこの円周上を$\mathrm{PQ}$が直径となるように動く．

(1)　$\angle \mathrm{PAQ}$の最大値と最小値を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{PAQ}$の面積の最大値と最小値を求めよ．

【３】(1)　$2$以上の整数$n$に対し

${\displaystyle \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}+\cdots +\frac{1}{(n-1)\cdot n\cdot (n+1)}}$

を求めよ．

(2)　任意の正の整数$n$に対し

${\displaystyle \frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots +\frac{1}{n^3}}<{\displaystyle \frac{5}{4}}$

が成り立つことを示せ．

【４】　$a$は正の定数とする．点$(x,y)$は条件$a|x|+|y|\leqq a$をみたす．

(1)　$y-{(x+1)}^2$の最小値を求めよ．

(2)　$y-{(x+1)}^2$の最大値を求めよ．

【５】　$a\text{，}b$は実数とする．関数$f(x)=ax+b$は，条件

$f(0)\leqq 0\leqq f(1)\text{，}{\displaystyle {\int }_0^1}|f(x)|dx=1$

をみたす．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^1}(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})f(x)dx$の最大値と最小値を求めよ．

(2)　$|{\displaystyle {\int }_0^{\frac{3}{4}}}xf(x)dx|$の最大値と最小値を求めよ．