2002　横浜国立大学　前期MathJax

【１】

(1)　方程式

${\displaystyle \frac{1}{\sin x}}+{\displaystyle \frac{1}{\sin 3x}}=3$

の$0°\leqq x\leqq 135°$における解の個数を求めよ．

【１】

(2)　$x\text{，}y\text{，}z$は$1$と異なる正の数で，次の条件を満たしている．

${\log }_{y}z+{\log }_{z}x+{\log }_{x}y={\displaystyle \frac{7}{2}}$

${\log }_{z}y+{\log }_{x}z+{\log }_{y}x={\displaystyle \frac{7}{2}}$

$xyz=2^{10}$

$x\leqq y\leqq z$

$x\text{，}y\text{，}z$を求めよ．

【２】　$0$以上の整数$m\text{，}n$に対し，

$a_{m,n}={\displaystyle \frac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m+n)!}}$

とする．ただし，$0!=1$である．次の問いに答えよ．

(1)　$a_{m,n+1}+a_{m+1,n}=4a_{m,n}$が成り立つことを証明せよ．

(2)　$a_{m,n}$は整数であることを証明せよ．必要ならば組合せの数${}_{p}C_q={\displaystyle \frac{p!}{q!(p-q)!}}$が整数であることを用いてもよい．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=x\text{，}\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BA}}=y\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}=z$

とおく．ここで$\cdot$は内積を表す．次の問いに答えよ．

(1)　各辺の長さをそれぞれ$x\text{，}y\text{，}z$を用いて表せ．

(2)　$xy+yz+zx>0$が成り立つことを証明せよ．

【４】　$xy$平面上に点$(a,2)$を中心とし，原点$\mathrm{O}$を通る円$C$がある．$C$が放物線$y=x^2$と異なる$4$点で交わるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a$の満たす条件を求めよ．

(2)　$a$が(1)で求めた条件を満たしながら変化するとき，$C$の動く範囲を図示せよ．

【１】　次の定積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^a}\log (a^2+x^2)dx$（$a$は正の定数）

【２】　次の定積分を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{\sin \theta }{\sin \theta +\cos \theta }}d\theta$

【２】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=x\text{，}\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BA}}=y\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}=z$とおく．ここで$\cdot$はベクトルの内積を表す．次の問いに答えよ．

(1)　各辺の長さをそれぞれ$x\text{，}y\text{，}z$を用いて表せ．

(2)　$x+y>0\text{，}y+z>0\text{，}z+x>0\text{，}xy+yz+zx>0$が成り立つことを証明せよ．

【３】　曲線$C:y=\log x$の点$\mathrm{P}(t,\log t)\text{（}t>1\text{）}$における接線$l_1$が直線$l_2:y=x-1$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{Q}$の$x$座標を求めよ．

(2)　$2$直線$l_1\text{，}{l}_2$と曲線$C$で囲まれる部分の面積を$S(t)$とする．$S(t)$を$t$で表せ．

(3)　(2)で求めた$S(t)$に対し，

$\underset{t\to 1+0}{\lim }{\displaystyle \frac{S(t)}{t-1}}$

を求めよ．

【４】　$xy$平面上に曲線$C:y=x^2$がある．$C$上にない点$\mathrm{A}$と$C$上の点$\mathrm{P}$に対し，$\mathrm{P}$における$C$の接線と$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}$を通る直線が垂直であるとき，線分$\mathrm{AP}$を$\mathrm{A}$から$C$に下ろした垂線という．次の問いに答えよ．

(1)　$C$に異なる$3$本の垂線を下ろすことができる点$\mathrm{A}$の範囲を図示せよ．

(2)　$\mathrm{A}$が(1)の範囲にあるとする．少なくとも$2$本の垂線の長さが等しくなる$\mathrm{A}$の範囲を図示せよ．

【５】　数列$\{a_n\}$を

$a_0=0\text{，}{a}_{n+1}={a_n}^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．

(1)　$n\geqq 1$のとき，

${\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{n}}\leqq a_n\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$

が成り立つことを示せ．

(2)　次の極限を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$

ただし，必要ならば$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log n}{n}}=0$を用いてよい．