2002　信州大学　前期　教育・繊維学部MathJax

【１】　放物線$y=x^2-x+2$の直交する$2$接線と，この放物線とで囲まれた図形の面積の最小値を求めよ．

【２】　点$\mathrm{O}$を中心とする円$C_1$と$C_2$がある．$C_1$の半径は$1$とし，$C_2$は$C_1$内にある．図のように，同じ半径をもつ$6$個の円が，それぞれ$C_1$に内接し，$C_2$には外接して，お互いに重なり合うことはなく，隣り合うどの$2$つの円も外接している．この$6$個の円の面積の合計を$S_1$とする．同じように，$\mathrm{O}$を中心とする円$C_3$が$C_2$内にあり，同じ半径をもつ$6$個の円が，それぞれ$C_2$に内接し，$C_3$には外接して，お互いに重なり合うことはなく，隣り合うどの$2$つの円も外接している．この$6$個の円の面積の合計を$S_2$とする．以下，これを繰り返して，$k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$について，$\mathrm{O}$を中心とする円$C_{k+1}$が$C_k$内にあり，同じ半径をもつ$6$個の円が，それぞれ$C_k$に内接し，$C_{n+1}$には外接して，お互いに重なり合うことはなく，隣り合うどの$2$つの円も外接している．この$6$個の円の面積の合計を$S_k$とする．次の問に答えよ．

(1)　$C_2$の半径と$S_1$を求めよ．

(2)　$S_1+S_2+\cdots +S_n$を求めよ．

【３】　$x\text{，}y\text{，}z$は

$xyz=1$

を満たす実数とする．次の$2$つの不等式を証明せよ．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}+{\displaystyle \frac{1}{z}}\leqq x^2+y^2+z^2$

(2)　${\displaystyle \frac{1}{x^2}}+{\displaystyle \frac{1}{y^2}}+{\displaystyle \frac{1}{z^2}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}{(x^2+y^2+z^2)}^2$

【４】　$i$を虚数単位$\text{（}{i}^2=-1\text{）}$とし，$\alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}(1+\sqrt{3}i)$とおく．

(1)　${\alpha }^5+{\alpha }^4+{\alpha }^3+{\alpha }^2+\alpha +1=0$が成り立つことを示せ．

(2)　${\alpha }^k$が方程式$x^2+x+1=0$の解になるとき，自然数$k\text{（}1\leqq k\leqq 5\text{）}$を求めよ．

(3)　${\alpha }^k$が方程式$x^2-x+1=0$の解になるとき，自然数$k\text{（}1\leqq k\leqq 5\text{）}$を求めよ．

【１】　$f(x)=a{x}^2+x-a$について，次の問に答えよ．

(1)　$a$の値にかかわらず，$y=f(x)$のグラフはつねに$2$つの定点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(2)　(1)の$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$x$座標を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．$a$が$-3\leqq a\leqq 3$の範囲で変わるとき，$xy$平面で$y=f(x)$のグラフが動いてできる図形のうち，$\alpha \leqq x\leqq \beta$の部分の面積$S$を求めよ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間で，$\mathrm{O}$を通る平面$\pi$上に$2$点${\mathrm{P}}_1$と${\mathrm{P}}_2$を

$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1=\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2=1$

を満たすようにとる．次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1\perp \mathrm{O}{\mathrm{P}}_2$であるための必要十分条件は，平面$\pi$上の任意の点$\mathrm{P}$に対し

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1})\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}+(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2})\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2}$

が成り立つことである．これを証明せよ．ここで，$\cdot$は内積を表わす．

(2)　$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1\perp \mathrm{O}{\mathrm{P}}_2$とし，${\mathrm{P}}_1(p_1,q_1,r_1)\text{，}{\mathrm{P}}_2(p_2,q_2,r_2)$とする．点$\mathrm{A}(1,1,1)$から平面$\pi$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とおくとき

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(p_1+q_1+r_1)\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}+(p_2+q_2+r_2)\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2}$

が成り立つことを示せ．ただし，$\mathrm{A}$が平面$\pi$上にあるときは，$\mathrm{H}=\mathrm{A}$とする．

【１】　$xy$平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C_1\text{，}$同じく半径$2$の円を$C_2$とする．$C_1$上に動点$\mathrm{P}\text{，}{C}_2$上に動点$\mathrm{Q}$をとり，$\mathrm{OP}\text{，}\mathrm{OQ}$が$x$軸の正方向となす角をそれぞれ$2\theta \text{，}\theta$とする．$\theta$が$0$から$\mathrm{\pi }$まで変化するとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$について，次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{R}$の$y$座標の最大値を求めよ．

(2)　$\mathrm{R}$がえがく曲線の長さを求めよ．

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$が，$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)$を満たすとする．次の問に答えよ．

(1)　$ad-bc=\pm 1$であることを示せ．

(2)　$ad-bc=-1$のときは，$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$であることを示せ．

専攻別数学選択方法推定

学校教育教員養成課程

　教育実践科学，社会科学教育専攻　数学$\text{①}$

　理数科学専攻　数学$\text{②}$のみか，数学$\text{③}$のみか，数学$\text{②}$と$\text{③}$から選択

　生活科学専攻　数学$\text{①}$のみか，数学$\text{②}$のみか，数学$\text{③}$のみか，数学$\text{②}$と$\text{③}$から選択

教育カウンセリング課程
　心理臨床専攻　数学$\text{①}$か，数学$\text{②}$から選択

繊維学部
　精密素材工　数学$\text{②}$