2002　信州大学　前期　経済，理，医学部MathJax

【１】　$\mathrm{A}$社の製品が$40$個あり，このうち不良品は$4$個であることがわかっている．この$\mathrm{A}$社の製品$40$個と$\mathrm{B}$社の製品$60$個を$1$つの箱に入れてよく混ぜておく．次の問いに答えよ．

(1)　箱から製品を$1$個取り出すとき，それが$\mathrm{A}$社の不良品である確率を求めよ．

(2)　箱から製品を$2$個取り出すとき，$2$個とも$\mathrm{A}$社の良品である確率を求めよ．

(3)　箱から製品を$2$取り出すとき，その$2$個の中で$\mathrm{B}$社の不良品が$1$個以下になっている確率は${\displaystyle \frac{9894}{9900}}$であるとする．$\mathrm{B}$社の製品の不良品の個数を求めよ．

(4)　(3)の仮定の下で，箱から製品を$2$個取り出すとき，少なくとも$1$つが良品である確率を求めよ．

【２】　容器$\mathrm{A}$には濃度$6\%$の食塩水が$100\%\text{，}$容器$\mathrm{B}$には濃度$18\%$の食塩水が$100g$入っている．容器$\mathrm{B}$から食塩水を$20g$取り出し容器$\mathrm{A}$にいれてよくかき混ぜ，次に容器$\mathrm{A}$から食塩水$20g$を取り出し容器$\mathrm{B}$にいれてよくかき混ぜる．この一連の操作を$n$回行った後の，容器$\mathrm{A}$と容器$\mathrm{B}$の食塩水の濃度をそれぞれ$a_n\%$および$b_n\%$とする．

(1)　$a_1$と$b_1$を求めよ．

(2)　$a_n$と$b_n$を求めよ．

(3)　$2$つの容器の濃度差がはじめて$2\%$以下になるのは，この操作を何回行った後か．

【３】　曲線$C:y=x^2+4$上の点$\mathrm{A}(2,8)$における$C$の接線を$l_1$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$を$\mathrm{A}$と異なる$l_1$上の点とし，$\mathrm{P}$の$x$座標を$a$とする．$\mathrm{P}$を通って曲線$C$と接する$l_1$以外の直線$l_2$の方程式を$a$を用いて表せ．

(2)　$2$つの直線$l_1\text{，}{l}_2$および曲線$C$で囲まれた図形の面積が${\displaystyle \frac{1}{12}}$となる点$\mathrm{P}$を求めよ．

【４】　曲線$C:y={\sin }^{2}x\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$上の$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$の中点の座標が$({\displaystyle \frac{3}{8}}\pi ,{\displaystyle \frac{3}{4}})$であるとする．

(1)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$x$座標を求めよ．

(2)　曲線$C$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【５】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を実数とし，$b^2+c^2\ne 0$とする．行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$に対して，次の問いに答えよ．

(1)　$A^2=A$であるとき，$a\text{，}d$を$b\text{，}c$を用いて表せ．また，$b\text{，}c$のとる値の範囲を求めよ．

(2)　$a=6$のとき，$A$の成分がすべて整数で，$A^2=A$を満たす行列$A$の総数を求めよ．

【６】　関数$f(x)=2{\sin }^{3}x\cos x\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$の最大値，最小値を求めよ．

【７】　$2$次関数$y=f(x)$のグラフが$2$点$(0,1)\text{，}(1,2)$を通るとき，以下のそれぞれの場合について$f(x)$を求めよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフが点$(1,2)$で傾き$3$の接線を持つ．

(2)　$x=0$から$x=1$までの$f(x)$の定積分の値が$0$である．

(3)　$0\leqq x\leqq 1$での$f(x)$の最大値が$3$である．