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2002-10421-0301
2002 信州大学 後期 理学部数学I,A,II,B
易□ 並□ 難□
【1】 2 つの箱があり,左の箱には 10 個の白玉,右の箱には 20 個の白玉が入っている.さらに 40 個の赤玉のうち n 個を左の箱に入れ,残りを右の箱に入れてよく混ぜておく.
(1) 左右それぞれの箱から 1 つずつ玉を取り出すとき,同じ色である確率 p⁡ (n) を求めよ.
(2) p⁡(n )= 12 となる n を求めよ.
(3) p⁡(n ) が最小になるのは, n=40 のときであることを示せ.
2002-10421-0302
【2】 xy 平面の 3 点を P( 3,0) , Q( 0,1) ,R( 0,-1 ) とする.円 Cn ( n= 0, 1 ,2 , ⋯ ) は,次の(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を満たす位置にあるとする.
(ⅰ) C0 は ▵PQR に内接している.
(ⅱ) n≧1 に対して, Cn は線分 PQ と PR に接している.
(ⅲ) n≧0 に対して, Cn+ 1 と Cn は外接しており, Cn+ 1 は Cn より点 P に近い位置にある.
このとき,円 Cn の半径と, Cn の中心の x 座標を求めよ.
2002-10421-0303
【3】(1) tan⁡ θ2= t のとき,次の等式を証明せよ.
sin⁡θ = 2⁢t 1+t 2 ,cos ⁡θ= 1 -t2 1+ t2
(2) θ が 0° <θ< 180° の範囲を動くとき, x⁢cos ⁡θ+y ⁢sin⁡θ =1 を満たす点 (x, y) の存在範囲を図示せよ.
2002-10421-0304
【4】 a>0 ,b>0 とする. 2 つの放物線 y= x2 と y= -a⁢x 2+b の交点では,その点におけるそれぞれの接線が直交しているとする.
(1) a と b が満たす関係式を求めよ.
(2) 2 つの放物線で囲まれた図形の面積が 13 になるときの a と b の値を求めよ.