2002　名古屋大学　後期MathJax

【１】　次の方程式を満たす整数の組$(x,y)$をすべて求めよ．

$x^3-y^3-x^{2}y+x{y}^2-x^2+y^2+x-y=1$

【２】　グラフが$x$軸より上にある放物線$C:y=p{x}^2+qx+r$を考える．

　$C$上の$3$点$(x_1,y_1)\text{，}(x_2,y_2)\text{，}(x_3,y_3)$が$x_2-x_1=x_3-x_2=h$（ただし，$h>0$）を満たしているとき，$C$と$2$直線$x=x_1\text{，}x=x_3$および$x$軸によって囲まれた部分の面積$S$は${\displaystyle \frac{h}{3}}(y_1+4y_2+y_3)$に等しいことを示せ．

【３】　$xy$平面上を動点$\mathrm{P}(x,y)$が，原点$(0,0)$から出発して，次の条件(a)，(b)，(c)を満たして移動するとする．

(a)　$x\text{，}y$は$0$以上の整数

(b)　$x\geqq y$

(c)　移動は$(x,y)$から$(x+1,y)$または$(x,y+1)$への移動のみ許される．

　このとき次の問に答えよ．

(1)　原点から点$(4,4)$まで移動する経路は何通りあるか．

(2)　$n\geqq 2$のとき，原点から点$(n,2)$まで移動する経路は何通りあるか．

【２】　$a$が$0<a<1$を満たすとき，任意の正の実数$x$に対し

$x(x^{-a}-1)<a$

が成り立つことを証明せよ．

【１】　任意の実数$x\text{，}y$に対して，$k=x^2+2y^2$とする．つぎの各問に答えよ．

(1)　$x$と$y$が関係$x+2y=1$を満たすとする．ただし，$x\leqq 0$または$x\geqq 1$である．このとき，$k$の最小値と，それを与える$x$と$y$の値を求めよ．

(2)　$x$と$y$が$3$つの不等式$x+2y\leqq 1\text{，}4x-y\geqq -1\text{，}2x-4y\leqq -1$を満たすとき，$k$の最小値と，それを与える$x$と$y$の値を求めよ．

(3)　$l=xy$とする．$x>0\text{，}y>0$であるとき，${\displaystyle \frac{k}{l}}$の最小値を求めよ．

【２】　つぎの各問に答えよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　複素数$z$と共役な複素数を$\bar{z}$とするとき，任意の整数$n$に対して，つぎの(a)，(b)が成り立つことを示せ．ただし，$z\ne 0$とする．

(a)　$z^n+{(\bar{z})}^n$は実数である．

(b)　$z^n-{(\bar{z})}^n$は$0$または純虚数である．

(2)　${\theta }_1\text{，}{\theta }_2\text{，}p\text{，}q$を実数とし，${\theta }_1+{\theta }_2=\pi \text{，}\alpha =p+qi\text{，}\beta =-p+qi$とするとき，つぎの各問に答えよ．ただし，$\alpha \ne 0$とする．

(a)　$A_n={\alpha }^n\cos n{\theta }_1+{\beta }^n\cos n{\theta }_2\text{，}{B}_n={\alpha }^n\sin n{\theta }_1+{\beta }^n\sin n{\theta }_2$とするとき，任意の整数$n$に対して，つぎの(ⅰ)，(ⅱ)が成り立つことを示せ．

(ⅰ)　$A_n$は実数である．

(ⅱ)　$B_n$は$0$または純虚数である．

(b)　$z_1=\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1\text{，}{z}_2=\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2$とし，$C_n={(\alpha z_1)}^n+{(\beta z_2)}^n$とするとき，任意の整数$n$に対して$C_n$は実数であることを示せ．

【３】　関数$f(x)=3x+6\sin x$は区間$0\leqq x\leqq 2\pi$で$2$つの極値$f(a)\text{，}f(b)\text{（}a<b\text{）}$をもつ．また，$y=g(x)$を点$(b,f(b))$を通る傾き$3$の直線とする．つぎの各問に答えよ．

(1)　$f(a)$および$f(b)$を求めよ．

(2)　関係$g(c)=f(a)$を満たす$c$を求めよ．

(3)　関数$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの概形をかけ．

(4)　曲線$y=f(x)\text{（}0\leqq x\leqq b\text{），}$線分$y=g(x)\text{（}b\leqq x\leqq 2\pi \text{），}$直線$y=d$（ただし，$d$は定数で，$d=g(2\pi )$），および$y$軸で囲まれる図形を$y$軸のまわりに回転してできる器を考える．この器の縁（$x=2\pi$の円周上）から静かに水を入れるとき，器の底（原点）に水が達するまでに水はどのくらい入るか．

【４】　赤と白のランプが一つずつある．それぞれのランプは，$1$秒ごとにある規則にしたがって点灯または消灯し，$1$秒間その状態を保持する．時刻$0$秒から実験を開始する．以下，$m\text{，}n$は$0$以上の整数とする．

(1)　両方のランプとも，以下の規則${\mathrm{R}}_1\text{，}{\mathrm{R}}_2$にしたがうとする．

${\mathrm{R}}_1:$時刻$m$秒からの$1$秒間に点灯している場合，時刻$m+1$秒で消灯する確率は$p$である．

${\mathrm{R}}_2:$時刻$m$秒からの$1$秒間に消灯している場合，時刻$m+1$秒で点灯する確率は$p$である．

時刻$0$秒からの$1$秒間，白は消灯，赤は点灯しているものとする．このとき，つぎの各問に答えよ．

(a)　時刻$n$秒からの$1$秒間に白のランプが点灯している確率を求めよ．

(b)　時刻$n$秒からの$1$秒間に少なくとも一方のランプが点灯している確率を求めよ．

(2)　つぎに，規則を以下の${{\mathrm{R}}^{\prime }}_1\text{，}{{\mathrm{R}}^{\prime }}_2\text{，}{{\mathrm{R}}^{\prime }}_3$のように変更した．

${{\mathrm{R}}^{\prime }}_1:$時刻$m$秒からの$1$秒間，両方が消灯している場合には，時刻$m+1$秒ではどちらか一方が点灯する．白が点灯する確率は$p$である．

${{\mathrm{R}}^{\prime }}_2:$時刻$m$秒からの$1$秒間，どちらか一方だけが点灯している場合には，時刻$m+1$秒で残りのランプが点灯するか，あるいは，点灯しているランプが消灯する．残りのランプが点灯する確率は$p$である．

${{\mathrm{R}}^{\prime }}_3:$時刻$m$秒からの$1$秒間，両方が点灯している場合には，時刻$m+1$秒ではどちらか一方が消灯する．赤が消灯する確率は$p$である．

時刻$0$秒からの$1$秒間，白は消灯，赤は点灯しているとする．このとき，つぎの各問に答えよ．

(a)　時刻$n$秒からの$1$秒間に白のランプが点灯している確率を求めよ．

(b)　時刻$n$秒からの$1$秒間に少なくとも一方のランプが点灯している確率を求めよ．