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2002-10483-0101
2002 名古屋工業大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 数列 {an } は,漸化式
3⁢a n+1 =4⁢ an2 -3⁢ an-4 ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
を満たす.このとき次の問いに答えよ.
(1) 一般項が a 2⁢m-1 =α , a2⁢m =β ( m= 1, 2, 3, ⋯) となるとき, α と β の値を求めよ.ただし α , β は α <β を満たす定数とする.
(2) an+ 1> an となるための必要十分条件を an を用いて表せ.
(3) a1> 2 または a1 <- 54 のとき,数列 {an } は
a1< a2< a3< ⋯<a n<a n+1 <⋯
を満たすことを示せ.
2002-10483-0102
【2】 複素数平面上に三角形 ABC と 2 つの正三角形 ADB ,ACE とがある.ただし点 C , 点 D は直線 AB に関して反対側にあり,また点 B , 点 E は直線 AC に関して反対側にある.線分 AB の中点を K , 線分 AC の中点を L , 線分 DE の中点を M とする.線分 KL の中点を N とするとき,直線 MN と直線 BC とは垂直であることを示せ.
2002-10483-0103
【3】 曲線 y= 1 x 上に,点 A ( 12, 2) , 点 B (3 ,1 3) および点 P (t ,1 t) をとる.ただし 12< t<3 とする.
(1) 三角形 ABP の面積が最大になるときの t の値と,そのときの面積を求めよ.
(2) 原点を O , 直線 AP と y 軸との交点を Q , 直線 BP と x 軸との交点を R とする. ∠PQO= α ,∠ PRO=β とするとき, tan⁡( α+β ) を t を用いて表せ.
(3) (2)の tan⁡ (α+β ) が最小になるときの t の値と,そのときの tan⁡ (α+β ) の値を求めよ.
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【4】 0≦x≦ π において 2 曲線
y=sin⁡ | x- π2 | ,y=cos ⁡2⁢ x
で囲まれた図形を D とする.
(1) D の面積を求めよ.
(2) D を x 軸のまわりに 1 回転させてできる回転体の体積を求めよ.