2002　名古屋工業大学　前期MathJax

2002-10483-0101

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易□　並□　難□

【１】　数列 ${a_{n}}$ は，漸化式

$3 a_{n + 1} = 4 {a_{n}}^{2} - 3 a_{n} - 4 （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

を満たす．このとき次の問いに答えよ．

(1)　一般項が $a_{2 m - 1} = α ， a_{2 m} = β （ m = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$ となるとき， $α$ と $β$ の値を求めよ．ただし $α ， β$ は $α < β$ を満たす定数とする．

(2)　 $a_{n + 1} > a_{n}$ となるための必要十分条件を $a_{n}$ を用いて表せ．

(3)　 $a_{1} > 2$ または $a_{1} < - \frac{5}{4}$ のとき，数列 ${a_{n}}$ は

$a_{1} < a_{2} < a_{3} < \dots < a_{n} < a_{n + 1} < \dots$

を満たすことを示せ．

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易□　並□　難□

【２】　複素数平面上に三角形 $ABC$ と $2$ つの正三角形 $ADB ， ACE$ とがある．ただし点 $C ，$ 点 $D$ は直線 $AB$ に関して反対側にあり，また点 $B ，$ 点 $E$ は直線 $AC$ に関して反対側にある．線分 $AB$ の中点を $K ，$ 線分 $AC$ の中点を $L ，$ 線分 $DE$ の中点を $M$ とする．線分 $KL$ の中点を $N$ とするとき，直線 $MN$ と直線 $BC$ とは垂直であることを示せ．

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【３】　曲線 $y = \frac{1}{x}$ 上に，点 $A (\frac{1}{2}, 2) ，$ 点 $B (3, \frac{1}{3})$ および点 $P (t, \frac{1}{t})$ をとる．ただし $\frac{1}{2} < t < 3$ とする．

(1)　三角形 $ABP$ の面積が最大になるときの $t$ の値と，そのときの面積を求めよ．

(2)　原点を $O ，$ 直線 $AP$ と $y$ 軸との交点を $Q ，$ 直線 $BP$ と $x$ 軸との交点を $R$ とする． $∠ PQO = α ， ∠ PRO = β$ とするとき， $\tan (α + β)$ を $t$ を用いて表せ．

(3)　(2)の $\tan (α + β)$ が最小になるときの $t$ の値と，そのときの $\tan (α + β)$ の値を求めよ．

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【４】　 $0 ≦ x ≦ π$ において $2$ 曲線

$y = \sin | x - \frac{π}{2} | ， y = \cos 2 x$

で囲まれた図形を $D$ とする．

(1)　 $D$ の面積を求めよ．

(2)　 $D$ を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる回転体の体積を求めよ．

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