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2002-10541-0101
2002 京都大学 前期
文系
配点30点
易□ 並□ 難□
【1】 数列 {an } の初項 a1 から第 n 項 an までの和を Sn と表す.この数列が a 1=0 , a2= 1, (n -1)2 ⁢an =Sn (n ≧1 ) を満たすとき,一般項 an を求めよ.
2002-10541-0102
【2】 四角形 ABCD を底面とする四角錐 OABCD は OA →+ OC→= OB→ +OD→ を満たしており, 0 と異なる 4 つの実数 p , q , r ,s に対して 4 点 P , Q , R , S を
OP→ =p⁢OA → , OQ→ =q⁢ OB→ , OR→ =r⁢OC →, OS→= s⁢OD→
によって定める.このとき, P ,Q ,R ,S が同一平面上にあれば 1p+ 1r= 1q +1s が成立することを示せ.
2002-10541-0103
京大入試問題数学解答集さんの解答(PDF)へ
文系・理系共通
【3】 f⁡(x )=x4 +a⁢ x3+b ⁢x2 +c⁢x +1 は整数を係数とする x の 4 次式とする. 4 次方程式 f⁡ (x)= 0 の重複も込めた 4 つの解のうち, 2 つは整数で残りの 2 つは虚数であるという.このとき a ,b , c の値を求めよ.
2002-10541-0104
【4】 0≦θ< 360 とし, a は定数とする.
cos⁡3⁢ θ°-cos ⁡2⁢θ °+3⁡ cos⁡θ° -1=a
を満たす θ の値はいくつあるか. a の値によって分類せよ.
2002-10541-0105
【5】 4 個の整数 1 ,a ,b ,c は 1< a<b< c を満たしている.これらの中から相異なる 2 個を取り出して和を作ると, 1+a から b+ c までのすべての整数の値が得られるという. a ,b , c の値を求めよ.
2002-10541-0106
理系
【1】 数列 {an } の初項 a1 から第 n 項 an までの和を Sn と表す.この数列が
a1= 1, limn→ ∞⁡ Sn= 1, n⁡(n- 2)⁢a n+1 =Sn (n≧ 1)
を満たすとき,一般項 an を求めよ.
2002-10541-0107
配点35点
【2】 半径 1 の円周上に相異なる 3 点 A ,B ,C がある.
(1) AB2+ BC2+ CA2> 8 ならば ▵ABC は鋭角三角形であることを示せ.
(2) AB2+ BC2+ CA2≦ 9 が成立することを示せ.また,この等号が成立するのはどのような場合か.
2002-10541-0108
【4】(1) x≧0 で定義された関数 f⁡ (x)= log⁡( x+1+ x2 ) について,導関数 f ′⁡ (x) を求めよ.
(2) 極方程式 r= θ( θ≧ 0) で定義される曲線の, 0≦θ≦ π の部分の長さを求めよ.
2002-10541-0109
【5】 a ,b ,c を実数とする. y=x3 +3⁢a ⁢x2 +3⁢b⁢ x と y= c のグラフが相異なる 3 つの交点を持つという.このとき a 2>b が成立することを示し,さらにこれらの交点の x 座標のすべては開区間 ( -a-2 ⁢a2 -b, -a+2 ⁢a2 -b ) に含まれていることを示せ.
2002-10541-0110
【6】 0<θ< 90 とし, a は正の数とする.複素数平面上の点 z 0, z1 , z2 , ⋯ をつぎの条件(ⅰ),(ⅱ)を満たすように定める.
(ⅰ) z0= 0,z 1=a
(ⅱ) n≧1 のとき,点 zn -z n-1 を原点のまわりに θ ° 回転すると点 z n+1 -zn に一致する.
このとき点 zn ( n≧ 1) が点 z0 と一致するような n が存在するための必要十分条件は, θ が有理数であることを示せ.