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2002 京都大学 前期

文系

配点30点

易□ 並□ 難□

【1】 数列 {an } の初項 a1 から第 n an までの和を Sn と表す.この数列が a 1=0 a2= 1 (n -1)2 an =Sn n 1 を満たすとき,一般項 an を求めよ.

2002 京都大学 前期

文系

配点30点

易□ 並□ 難□

【2】 四角形 ABCD を底面とする四角錐 OABCD OA + OC= OB +OD を満たしており, 0 と異なる 4 つの実数 p q r s に対して 4 P Q R S

OP =pOA OQ =q OB OR =rOC OS= sOD

によって定める.このとき, P Q R S が同一平面上にあれば 1p+ 1r= 1q +1s が成立することを示せ.

2002 京都大学 前期

文系・理系共通

配点30点

易□ 並□ 難□

【3】  f(x )=x4 +a x3+b x2 +cx +1 は整数を係数とする x 4 次式とする. 4 次方程式 f (x)= 0 の重複も込めた 4 つの解のうち, 2 つは整数で残りの 2 つは虚数であるという.このとき a b c の値を求めよ.

2002 京都大学 前期

文系

配点30点

易□ 並□ 難□

【4】  0θ< 360 とし, a は定数とする.

cos3 θ°-cos 2θ °+3 cosθ° -1=a

を満たす θ の値はいくつあるか. a の値によって分類せよ.

2002 京都大学 前期

文系

配点30点

易□ 並□ 難□

【5】  4 個の整数 1 a b c 1< a<b< c を満たしている.これらの中から相異なる 2 個を取り出して和を作ると, 1+a から b+ c までのすべての整数の値が得られるという. a b c の値を求めよ.

2002 京都大学 前期

理系

配点30点

易□ 並□ 難□

【1】 数列 {an } の初項 a1 から第 n an までの和を Sn と表す.この数列が

a1= 1 limn Sn= 1 n(n- 2)a n+1 =Sn n 1

を満たすとき,一般項 an を求めよ.

2002 京都大学 前期

理系

配点35点

易□ 並□ 難□

【2】 半径 1 の円周上に相異なる 3 A B C がある.

(1)  AB2+ BC2+ CA2> 8 ならば ABC は鋭角三角形であることを示せ.

(2)  AB2+ BC2+ CA2 9 が成立することを示せ.また,この等号が成立するのはどのような場合か.

2002 京都大学 前期

理系

配点35点

易□ 並□ 難□

【4】(1)  x0 で定義された関数 f (x)= log( x+1+ x2 ) について,導関数 f (x) を求めよ.

(2) 極方程式 r= θ θ 0 で定義される曲線の, 0θ π の部分の長さを求めよ.

2002 京都大学 前期

理系

配点35点

易□ 並□ 難□

【5】  a b c を実数とする. y=x3 +3a x2 +3b x y= c のグラフが相異なる 3 つの交点を持つという.このとき a 2>b が成立することを示し,さらにこれらの交点の x 座標のすべては開区間 ( -a-2 a2 -b, -a+2 a2 -b ) に含まれていることを示せ.

2002 京都大学 前期

理系

配点35点

易□ 並□ 難□

【6】  0<θ< 90 とし, a は正の数とする.複素数平面上の点 z 0 z1 z2 をつぎの条件(ⅰ),(ⅱ)を満たすように定める.

(ⅰ)  z0= 0z 1=a

(ⅱ)  n1 のとき,点 zn -z n-1 を原点のまわりに θ ° 回転すると点 z n+1 -zn に一致する.

 このとき点 zn n 1 が点 z0 と一致するような n が存在するための必要十分条件は, θ が有理数であることを示せ.

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