2002　京都大学　後期MathJax

【１】　$1$から$n\text{（}n\geqq 2\text{）}$までの番号が，順番に$1$つずつ書かれた$n$枚の札が袋に入っている．この袋の中から札を$1$枚ずつ取り出し，つぎの(ⅰ)，(ⅱ)のルールに従って$\mathrm{A}$または$\mathrm{B}$の箱に入れる．

(ⅰ)　最初に取り出した札は$\mathrm{A}$の箱に入れる．

(ⅱ)　$2$番目以降に取り出した札は，その番号がそれまでに取り出された札の番号のどれよりも大きければ$\mathrm{A}$の箱に入れ，そうでないときは$\mathrm{B}$の箱に入れる．

　$n$枚の札すべてを取り出し，箱に入れ終わったとき，$\mathrm{B}$の箱にちょうど$1$枚の札が入っている確率を求めよ．

【２】　次の連立不等式を満たす$xy$平面内の領域を$D$とする．

$4y+x-10\leqq 0\text{，}y-x\geqq 0\text{，}y+4x+5\geqq 0$

点$\mathrm{P}(x,y)$が領域$D$を動くとき，

$F=-2(x^3+y^3)+3(x^2+y^2)-6xy(x+y-1)+12(x+y)-5$

の最大値と最小値を求めよ．

【３】　各面が鋭角三角形からなる四面体$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{CD}$は垂直ではないとする．このとき辺$\mathrm{AB}$を含む平面$\alpha$に点$\mathrm{C}\text{，}$点$\mathrm{D}$から下ろした垂線の足をそれぞれ，$C^{\prime }\text{，}{\mathrm{D}}^{\prime }$とするとき，$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{D}}^{\prime }$がすべて相異なり，しかも同一円周上にあるように$\alpha$がとれることを示せ．

【４】　複素数平面上で原点を$\mathrm{O}$とし，$1$の表す点を$\mathrm{A}$とする．この平面上の点${\mathrm{P}}_1(z_1)\text{，}{\mathrm{P}}_2(z_2)\text{，}{\mathrm{P}}_3(z_3)\text{，}\cdots$が次の条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)を満たしているとき，$|z_n|$の最大値を求めよ．

(ⅰ)　$z_1={\displaystyle \frac{i}{\sqrt{3}}}$

(ⅱ)　$0°<\arg z_{n+1}<\arg z_n<360°\text{（}n\geqq 1\text{）}$

(ⅲ)　線分$\mathrm{A}{\mathrm{P}}_n$の中点を${\mathrm{M}}_n$とするとき，$n\geqq 1$に対して$▵\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}\backsim ▵\mathrm{O}{\mathrm{M}}_n\mathrm{A}$が成立する．

　ただしここでいう相似は，左辺の三角形と右辺の三角形の頂点が，書かれた順に対応しているものとする．

【５】　$xyz$空間内に半径と高さがともに$1$である直円柱があり，この直円柱の下底は$xy$平面上にあって，その中心は原点と一致している．点$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{Q}$は点$\mathrm{A}(1,0,1)\text{，}$点$\mathrm{B}(0,1,0)$を出発し，それぞれ上底，下底の周上を同じ方向に線分$\mathrm{PQ}$の長さを変えないで$1$回転するものとする．このとき線分$\mathrm{PQ}$が通過してできる曲面と，上底，下底で囲まれる立体の体積を求めよ．

【２】　楕円$x^2+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$と円${(x-a)}^2+y^2=b\text{（}b>0\text{）}$が相異なる$4$点で交わるという．このとき点$(a,b)$のとりうる範囲を図示せよ．

【４】　$f(x)$は$x^n$の係数が$1$である$x$の$n$次式である．相異なる$n$個の有理数$q_1\text{，}{q}_2\text{，}\cdots \text{，}{q}_n$に対して$f(q_1)\text{，}f(q_2)\text{，}\cdots \text{，}f(q_n)$がすべて有理数であれば，$f(x)$の係数はすべて有理数であることを，数学的帰納法を用いて示せ．

【５】　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を

$a_1=3\text{，}{b}_1=2$

$a_{n+1}={a_n}^2+2{b_n}^2\text{，}{b}_{n+1}=2a_n{b}_n\text{（}n\geqq 1\text{）}$

で定める．

(1)　${a_n}^2-2{b_n}^2$を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}$を求めよ．

【６】　閉区間$[-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$で定義された関数$f(x)$が

$f(x)+{\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}}\sin (x-y)\cdot f(y)dy=x+1(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

を満たしている．$f(x)$を求めよ．