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2002-10561-0101
2002 大阪大学 前期
文系
配点率30%
易□ 並□ 難□
【1】 次の問いに答えよ.
(1) 実数の定数 p に対して, 3 次方程式 x3 +x-p =0 の実数解の個数は 1 個であることを示せ.
(2) p ,q は定数で p≧ 2, q≧2 とする. 2 つの 3 次方程式
x3+ x-p=0 , x3+x -q=0
の実数解をそれぞれ α ,β とするとき,
|α- β|≦ 14 ⁢ |p -q|
が成立することを示せ.
2002-10561-0102
配点率35%
【2】 平面上に 3 つの放物線
C1: y=-x ⁢(x- 1), C2: y=x⁢ (x-1 ),C :y= 12⁢ x2 +a⁢x +b
を考える.いま実数 t に対して, C は C1 上の点 (t, -t2 +t) を通り,その点で C1 と共通の接線をもつとする.
(1) a ,b を t を用いて表せ.
(2) 2 つの放物線 C ,C2 で囲まれた部分の面積 S を t を用いて表せ.
(3) t を動かすとき, S の最小値を求めよ.
2002-10561-0103
【3】 平面上に原点 O を中心とする半径 1 の円 K1 を考える. K1 の直径を 1 つとり,その両端を A , B とする.円 K1 の周上の任意の点 Q に対し,線分 QA を 1: 2 の比に内分する点を R とする.いま k を正の定数として,
p→ =AQ→ +k⁢ BR→
とおく.ただし, Q=A のときは R= A とする.また, OA→ =a→ , OQ→ =q→ とおく.
(1) BR→ を a→ , q→ を用いて表せ.
(2) 点 Q が円 K1 の周上を動くとき, OP→ =p→ となるような点 P がえがく図形を K2 とする. K2 は円であることを示し,中心の座標ベクトルと半径を求めよ.
(3) 円 K2 の内部に点 A が含まれるような k の値の範囲を求めよ.
2002-10561-0104
理系
配点率20%
【1】 実数を係数とする 3 次方程式
x3+ a⁢x2 +b⁢x +c=0
が異なる 3 つの実数解をもつとする.このとき, a>0 ,b>0 ならば,少なくとも 2 つの実数解は負であることを示せ.
2002-10561-0105
【2】 平面上に双曲線 C: y= 1x を考える. a ,b ,c ,d を d< c<0< b<a をみたす数とし,曲線 C 上の 4 点 P ,Q , R, S をそれぞれ x 座標が a ,b ,c , d であるような点としたとき,四角形 PQSR が長方形になっているとする.
(1) b ,c ,d を a を用いて表せ.
(2) 線分 PR と x 軸との交点を T , 線分 QS と y 軸との交点を U とするとき,線分 TU と曲線 C が共通点をもたないような a の値の範囲を求めよ.
(3) a が(2)の範囲にあるとき, 3 線分 PT ,TU ,UQ と曲線 C で囲まれた部分の面積 S⁡ (a) を求めよ.
(4) a が(2)の範囲を動くとき, S⁡(a ) の増減を調べその最大値を求めよ.
2002-10561-0106
【3】 α を |α |=1 であるような複素数とし,複素数の列 {zn } を
z1= 1, z2= α 42 , z nzn -1 = α24 ⁢ z n-2 ‾z n-1 ‾ ( n=3 ,4 ,5 ,⋯ )
で定める.ただし, zn ‾ は複素数 zn の共役な複素数とする.
(1) 各 n に対し, zn を求めよ.
(2) zn の実部と虚部をそれぞれ xn , yn とし, α=- 12 + 32 ⁢i とおくとき,無限級数の和
∑k =1∞ ⁡x k, ∑ k=1 ∞⁡ yk
をそれぞれ求めよ.
2002-10561-0107
【4】 n を n≧ 7 をみたす整数とし, 1 つのさいころを投げる試行を n 回くり返す.このとき, 2≦k ≦n をみたす整数 k に対し,「 n 回の試行のうち,同じ目が出るどの 2 つの試行も k 以上離れている」という事象が起こる確率を pk と表す.ただし, i 番目の試行と j 番目の試行について,この 2 つの試行は | i-j | だけ離れているということにする.
(1) p2 の値を求めよ.
(2) k≧3 のとき, pk の値を求めよ.
(3) 「 n 回の試行において,同じ目が続くことはなく,しかも同じ目が出る試行の組でちょうど 2 だけ離れたものが少なくとも 1 組存在する」という事象が起こる確率を求めよ.
2002-10561-0108
【5】 平面上に原点 O を中心とする半径 1 の円 C1 と点 P( 0,sin⁡ α) を中心とする半径 1 の円 C2 がある.ただし 0< α< π2 とする.円 C2 と x 軸との交点を A ,B とし, A ,B を通り y 軸と平行な直線をそれぞれ l A ,lB とする. 2 直線 l A, lB ではさまれた領域の部分で,円 C1 の外部で円 C2 の内部であるものを D 1, 円 C2 の外部で円 C1 の内部であるものを D2 とする.いま, D1 , D2 をそれぞれ x 軸のまわりに 1 回転させてできる回転体の体積を V 1⁡( α), V2 ⁡(α ) とする.
(1) V1⁡ (α) ,V1 ⁡(α) -V2 ⁡(α ) をそれぞれ α を用いて表せ.
(2) α が 0< α< π2 の範囲を動くとき, V1⁡ (α)- V2⁡ (α) の最大値を求めよ.