2002 大阪大学 前期MathJax

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2002 大阪大学 前期

文系

配点率30%

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(1) 実数の定数 p に対して, 3 次方程式 x3 +x-p =0 の実数解の個数は 1 個であることを示せ.

(2)  p q は定数で p 2 q2 とする. 2 つの 3 次方程式

x3+ x-p=0 x3+x -q=0

の実数解をそれぞれ α β とするとき,

|α- β| 14 |p -q|

が成立することを示せ.

2002 大阪大学 前期

文系

配点率35%

易□ 並□ 難□

【2】 平面上に 3 つの放物線

C1: y=-x (x- 1) C2: y=x (x-1 )C :y= 12 x2 +ax +b

を考える.いま実数 t に対して, C C1 上の点 (t, -t2 +t) を通り,その点で C1 と共通の接線をもつとする.

(1)  a b t を用いて表せ.

(2)  2 つの放物線 C C2 で囲まれた部分の面積 S t を用いて表せ.

(3)  t を動かすとき, S の最小値を求めよ.

2002 大阪大学 前期

文系

配点率35%

易□ 並□ 難□

【3】 平面上に原点 O を中心とする半径 1 の円 K1 を考える. K1 の直径を 1 つとり,その両端を A B とする.円 K1 の周上の任意の点 Q に対し,線分 QA 1: 2 の比に内分する点を R とする.いま k を正の定数として,

p =AQ +k BR

とおく.ただし, Q=A のときは R= A とする.また, OA =a OQ =q とおく.

(1)  BR a q を用いて表せ.

(2) 点 Q が円 K1 の周上を動くとき, OP =p となるような点 P がえがく図形を K2 とする. K2 は円であることを示し,中心の座標ベクトルと半径を求めよ.

(3) 円 K2 の内部に点 A が含まれるような k の値の範囲を求めよ.

2002 大阪大学 前期

理系

配点率20%

易□ 並□ 難□

【1】 実数を係数とする 3 次方程式

x3+ ax2 +bx +c=0

が異なる 3 つの実数解をもつとする.このとき, a>0 b>0 ならば,少なくとも 2 つの実数解は負であることを示せ.

2002 大阪大学 前期

理系

配点率20%

易□ 並□ 難□

【2】 平面上に双曲線 C: y= 1x を考える. a b c d d< c<0< b<a をみたす数とし,曲線 C 上の 4 P Q R S をそれぞれ x 座標が a b c d であるような点としたとき,四角形 PQSR が長方形になっているとする.

(1)  b c d a を用いて表せ.

(2) 線分 PR x 軸との交点を T 線分 QS y 軸との交点を U とするとき,線分 TU と曲線 C が共通点をもたないような a の値の範囲を求めよ.

(3)  a が(2)の範囲にあるとき, 3 線分 PT TU UQ と曲線 C で囲まれた部分の面積 S (a) を求めよ.

(4)  a が(2)の範囲を動くとき, S(a ) の増減を調べその最大値を求めよ.

2002 大阪大学 前期

理系

配点率20%

易□ 並□ 難□

【3】  α |α |=1 であるような複素数とし,複素数の列 {zn }

z1= 1 z2= α 42 z nzn -1 = α24 z n-2 z n-1 n=3 4 5

で定める.ただし, zn は複素数 zn の共役な複素数とする.

(1) 各 n に対し, zn を求めよ.

(2)  zn の実部と虚部をそれぞれ xn yn とし, α=- 12 + 32 i とおくとき,無限級数の和

k =1 x k k=1 yk

をそれぞれ求めよ.

2002 大阪大学 前期

理系

配点率20%

易□ 並□ 難□

【4】  n n 7 をみたす整数とし, 1 つのさいころを投げる試行を n 回くり返す.このとき, 2k n をみたす整数 k に対し,「 n 回の試行のうち,同じ目が出るどの 2 つの試行も k 以上離れている」という事象が起こる確率を pk と表す.ただし, i 番目の試行と j 番目の試行について,この 2 つの試行は | i-j | だけ離れているということにする.

(1)  p2 の値を求めよ.

(2)  k3 のとき, pk の値を求めよ.

(3) 「 n 回の試行において,同じ目が続くことはなく,しかも同じ目が出る試行の組でちょうど 2 だけ離れたものが少なくとも 1 組存在する」という事象が起こる確率を求めよ.

2002 大阪大学 前期

理系

配点率20%

易□ 並□ 難□

【5】 平面上に原点 O を中心とする半径 1 の円 C1 と点 P( 0,sin α) を中心とする半径 1 の円 C2 がある.ただし 0< α< π2 とする.円 C2 x 軸との交点を A B とし, A B を通り y 軸と平行な直線をそれぞれ l A lB とする. 2 直線 l A lB ではさまれた領域の部分で,円 C1 の外部で円 C2 の内部であるものを D 1 C2 の外部で円 C1 の内部であるものを D2 とする.いま, D1 D2 をそれぞれ x 軸のまわりに 1 回転させてできる回転体の体積を V 1( α) V2 (α ) とする.

(1)  V1 (α) V1 (α) -V2 (α ) をそれぞれ α を用いて表せ.

(2)  α 0< α< π2 の範囲を動くとき, V1 (α)- V2 (α) の最大値を求めよ.

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