2002　神戸大学　前期MathJax

【１】　数列$\left\{a_n\right\}$は，初項$a$および公差$d$が整数であるような等差数列であり，

$\{\begin{array}{l}8\leqq a_2\leqq 10\\ 14\leqq a_4\leqq 16\\ 19\leqq a_5\leqq 21\end{array}$

をみたしているとする．このような数列$\{a_n\}$をすべて求めよ．

【２】　実数$t$に対して，$xy$平面上の直線

$(1-t^2)x-2ty=1+t^2$

は，$t$の値によらずある円$C$に接しているものとする．次の問に答えよ．

(1)　円$C$の方程式を求めよ．また，接点の座標を求めよ．

(2)　$t$が$t\geqq 1$の範囲を動くとき，直線の通過する範囲を図示せよ．

【３】　次の問に答えよ．

(1)　方程式

$x^2+y^2+ax+by+3c=0$

が円を表すための$a\text{，}b\text{，}c$の条件を求めよ．

(2)　一つのサイコロを$2$回振って出た目の数を，順に$a\text{，}b$とする．$c=1$とするとき，$a\text{，}b$の組が(1)の条件をみたす場合は何通りあるか．

(3)　一つのサイコロを$3$回振って出た目の数を，順に$a\text{，}b\text{，}c$とする．$a\text{，}b\text{，}c$が(1)の条件をみたす確率を求めよ．

【１】　$0$でない複素数$z$に対して，$w=u+iv$を

$w={\displaystyle \frac{1}{2}}(z+{\displaystyle \frac{1}{z}})$

とするとき，次の問に答えよ．ただし，$u\text{，}v$は実数，$i$は虚数単位である．

(1)　複素数平面上で，$z$が単位円$\left|z\right|=1$上を動くとき，$w$はどのような曲線を描くか．$u\text{，}v$がみたす曲線の方程式を求め，その曲線を図示せよ．

(2)　複素数平面上で，$z$が実軸からの偏角$\alpha (0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の半直線上を動くとき，$w$はどのような曲線を描くか．$u\text{，}v$がみたす曲線の方程式を求め，その曲線を図示せよ．

【２】　正の整数$n$に対して，連立不等式

$\{\begin{array}{l}0<x\leqq n\\ x\leqq y\leqq 3x\end{array}$

の表す領域を$D_n$とする．次の問に答えよ．

(1)　領域$D_n$内にある格子点$(x,y)$の個数を$S_n$とする．$S_n$を$n$で表せ．ただし，格子点とは$x$座標と$y$座標の両方が整数であるような点のことである．

(2)　原点$\mathrm{O}(0,0)$を始点とし，領域$D_n$内の格子点$\mathrm{P}(x,y)$を終点とする位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は，ベクトル

$\overrightarrow{v_1}=(1,1)\text{，}\overrightarrow{v_2}=(1,2)\text{，}\overrightarrow{v_3}=(1,3)$

と$0$以上の整数$m_1\text{，}{m}_2\text{，}{m}_3$を用いて，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=m_1\overrightarrow{v_1}+m_2\overrightarrow{v_2}+m_3\overrightarrow{v_3}$

と表せることを証明せよ．

【３】　正の実数$a\text{，}b$に対して，$2$つの曲線

$C_1:a{y}^2=x^3\text{（}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{）}$

$C_2:b{x}^2=y^3\text{（}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{）}$

の原点$\mathrm{O}$以外の交点を$\mathrm{P}$とする．次の問に答えよ．

(1)　交点$\mathrm{P}$の座標を求め，$2$つの曲線$C_1\text{，}{C}_2$の概形を描け．

(2)　$2$つの曲線$C_1\text{，}{C}_2$で囲まれる部分の面積を，$a$と$b$で表せ．また，この面積が一定値$S$であるように$a\text{，}b$が動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めよ．

【４】　関数$f(x)$は任意の実数$x$に対して定義されているとする．次の問に答えよ．

(1)　$f(x)$が$x=a$において微分可能であることの定義を述べよ．

(2)　次の$2$つの命題のうち正しいものを選び，それが正しい理由を示せ．

(ⅰ)　$f(x)$が$x=a$において連続ならば，必ず，$f(x)$は$x=a$において微分可能である．

(ⅱ)　$f(x)$が$x=a$において連続であっても，$f(x)$は$x=a$において微分可能であるとは限らない．

(3)　関数$f(x)=\cos x$が$x=a$において微分可能であることを，(1)で答えた定義を用いて証明せよ．

【５】　数字$1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}N$の書かれたカードが$1$枚ずつ$N$枚入っている箱から，元に戻さずに$1$枚ずつ$k$枚のカードを引く試行を考える．ここで，$2\leqq k\leqq N$とする．引いたカードの順に，書かれている数字を$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_k$とする．次の問に答えよ．

(1)　$x_1<x_2<\cdots <x_k\text{，}$すなわち，$k$枚のカードを数字の小さい順に引く確率$p$を求めよ．

(2)　$i$は整数で，$2\leqq i\leqq k$をみたすとする．

$\{\begin{array}{l}{x}_1<x_2<\cdots <x_{i-1}\\ x_{i-1}>x_i\end{array}$

である確率，すなわち，$k$枚のカードのうち$i-1$枚目までは小さい順にカードを引き，$i$枚目に初めて$i-1$枚目よりも数字の小さいカードを引く確率$q_i$を求めよ．

(3)　$N$は$5$以上の整数で，$k=5$とする．$2\leqq i\leqq 5$をみたす各整数$i$について上の(2)の事象が起こるとき，得点$i$点が与えられるとする．それ以外のときの得点は$0$点とする．このとき，得点の期待値を求めよ．