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2002-10701-0101
2002 岡山大学 前期
数学I・数学II・数学A・数学B
易□ 並□ 難□
【1】 k を自然数の定数とする.自然数 n に対して,
Sn= |n- 1|+ |n- 2|+ ⋯+| n-k|
とおく.このとき,次の問いに答えよ.
(1) Sn を求めよ.
(2) Sn の最小値と,そのときの n の値を求めよ.
2002-10701-0102
数学I・数学II・数学A・数学B,
数学I・数学II・数学III・
数学A・数学B・数学C共通
【2】 次の問いに答えよ.ただし, i は虚数単位とする.
(1) 方程式 z4 =8⁢ (1+ 3⁢i ) の 4 つの解 z1 , z2 ,z3 ,z 4 を極形式で表せ.
(2) 複素数平面上の原点を O とし,複素数 8⁢ (1+3 ⁢i) ,z1 , z2 , z3 , z4 を表す点をそれぞれ Q ,P 1, P2 , P3 , P4 とする.このとき, 4 つの三角形 OQ P1 ,OQ P2 ,OQ P3 ,OQ P4 の面積はすべて等しいことを示せ.
2002-10701-0103
【3】 座標平面上の原点 O を中心とする半径 2 の円を C とする.放物線 y= 3⁢ (x-2 )2 と円 C の交点の 1 つ (2 ,0) を P とし,他の 1 つを Q とする.
(1) 点 Q の座標を求めよ.
(2) 円 C の劣弧 PQ と放物線 y= 3⁢ (x-2 )2 により囲まれた図形の面積を求めよ.ただし,劣弧 PQ とは,点 P と点 Q を結ぶ円 C の 2 つの弧のうち,長さが短い方の弧である.
2002-10701-0104
【4】 図のように, A から N までの 14 個の点が,縦の長さが 3 , 横の長さが 4 の長方形の周上に等間隔でのっている.このとき,次の問いに答えよ.
(1) これらの点のうち 3 点を結んでできる三角形は何個あるか.
(2) これらの点のうち 3 点を結んでできる二等辺三角形は何個あるか.
2002-10701-0105
数学A・数学B・数学C
【1】 複素数平面上で次のように点の列 Pn , (n =0 ,1 ,2 ,⋯ ) をつくる.点 P 0, P1 はそれぞれ 0 ,1 を表し,線分 P n+1 Pn +2 の長さは線分 P nP n+1 の長さの r 倍( r> 0 )で,直線 P nP n+1 から直線 P n+1 Pn +2 へ図のようにはかった角は 60 ° である.このとき,次の問いに答えよ.
(1) P3 を求めよ.
(2) P6⁢ n を表す複素数 a+ b⁢i の実部 a と虚部 b を求めよ.
2002-10701-0106
【2】 a ,b ,c ,d を実数とする.行列 A= ( ab cd ) に関して,次の問いに答えよ.
(1) A2= ( -10 0 -2 ) を満たす A は存在しないことを示せ.
(2) A2= ( -10 0 -1 ) を満たす A を a ,b を用いて表せ.
2002-10701-0107
【3】 座標平面上に点 A( 0,2) と点 B( 1,0) があり,線分 AB 上の点 P から x 軸, y 軸におろした垂線の足をそれぞれ Q ,R とする.点 P が A から B まで動くとき,線分 QR の通過する部分の面積を求めよ.
2002-10701-0108
【4】 次の問いに答えよ.
(1) x>0 のとき,不等式 ex >1+ x が成り立つことを示せ.
(2) x>0 のとき,不等式 log⁡ (1+x )>1- e-x が成り立つことを示せ.
(3) 実数 x ,y が
0≦x≦ ey- 1, 0≦y≦ 1-e -x
を満たせば, x=y= 0 でなければならないことを示せ.