2002　広島大学　前期MathJax

【１】　正の定数$a$に対し，${\log }_a(3x)+{\log }_{\sqrt{a}}(a-x)=1$を満たす実数$x$がちょうど$2$つある．このとき，$a$はどのような範囲にあるか．

【２】　直線$x+y=1$上の点$\mathrm{Q}$と，放物線$y=x^2$上の原点$\mathrm{O}$とは異なる点$\mathrm{R}$に対し，$2$つの半直f線$\mathrm{OQ}\text{，}\mathrm{OR}$の$x$軸の正の向きからはかった角をそれぞれ$\alpha \text{，}\beta$とおく．さらに，線分$\mathrm{QR}$の中点を$\mathrm{P}$とおく．$2$点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$が$\alpha =\beta +45°\text{，}0°<\beta <45°$を満たすように動くとき，次の問いに答えよ．

(1)　直線$\mathrm{OQ}$の傾きを$a\text{，}$直線$\mathrm{OR}$の傾きを$b$とするとき，$a={\displaystyle \frac{1+b}{1-b}}$となることを示せ．

(2)　点$\mathrm{P}$の座標を$b$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

【３】　放物線$y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}\mathrm{B}(b,b^2)\text{（}a<b\text{）}$における接線をそれぞれ$l_{\mathrm{A}}\text{，}{l}_{\mathrm{B}}$とする．

(1)　$l_{\mathrm{A}}$と$l_{\mathrm{B}}$の交点を$\mathrm{P}(p,q)$とするとき，$a\text{，}b$は$2$次方程式$x^2-2px+q=0$の解であることを示せ．

(2)　$2$直線$l_{\mathrm{A}}\text{，}x=b$と放物線$y=x^2$とで囲まれた図形の面積$S$は${\displaystyle \frac{1}{3}}{(b-a)}^3$であることを示せ．

(3)　交点$\mathrm{P}$が放物線$y=-{(x-1)}^2$上を動くとき，面積$S$の最小値を求めよ．

【４】　$1$個のさいころを投げるという試行をくり返す．奇数の目が出たら$\mathrm{A}$の勝ち，偶数の目が出たら$\mathrm{B}$の勝ちとし，どちらかが$4$連勝したら試行を終了する．

(1)　この試行が$4$回で終了する確率を求めよ．

(2)　この試行が$7$回以下で終了する確率を求めよ．

(3)　この試行が$5$回以上続き，かつ，$4$回目が$\mathrm{A}$の勝ちである確率を求めよ．

(4)　この試行がちょうど$8$回で終了する確率を求めよ．

【５】　三角形$\mathrm{ABC}$において，

$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=c\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|=a\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{CA}}\right|=b\text{，}$$\overrightarrow{p}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}{c}}\text{，}$$\overrightarrow{p}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{BC}}}{a}}\text{，}$$\overrightarrow{r}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{CA}}}{b}}$

とおき，$b<c\text{，}\angle \mathrm{B}<\angle \mathrm{C}$とする．

(1)　$|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{q}|<|\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p}|$であることを示せ．

(2)　定数$s\text{，}t$に対して，辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{E}$があって

$\overrightarrow{\mathrm{BE}}=s(\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p})\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CD}}=t(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{q})$

となっている．このとき，$s\text{，}t$を$a\text{，}b\text{，}c$の式で表し，さらに$|t(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{q})|<|s(\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p})|$であることを示せ．

【１】　$2$次の正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}c& d\\ d& c\end{array}\right)$は次の$3$つの条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)を満たすとする．ただし，$a\ne 0\text{，}c\ne 0\text{，}b>d$で，$O$は$2$次の零行列である．

$\text{(ⅰ)}{A}^2=A\text{，(ⅱ)}{B}^2=B\text{，(ⅲ)}AB=O$

(1)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の値を求めよ．

(2)　実数$p\text{，}q$がどちらも$0$でないとき，$(pA+qB)(xA+yB)=2E$となる実数$x\text{，}y$を$p\text{，}q$を用いて表せ．ただし，$E$は$2$次の単位行列である．

【２】　条件$a_1=-30\text{，}9a_{n+1}=a_n+{\displaystyle \frac{4}{3^n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定義される数列$\{a_n\}$がある．

(1)　$b_n=3^n{a}_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の漸化式を求めよ．

(2)　一般項$a_n$を求めよ．

(3)　$a_n$を最大にする$n$の値を求めよ．

【３】　$C_1$を曲線$y=e^x\text{，}{C}_2$を曲線$y=x\log x\text{（}x>0\text{）}$とする．ただし，$\log$は自然対数を表す．また，$x=e$で定義される直線を$l_1\text{，}{l}_1$と$C_2$との交点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に平行な直線を$l_2\text{，}{l}_2$と$C_1$との交点$\mathrm{Q}$を通り$y$軸に平行な直線を$l_3$とする．

(1)　$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　$x\geqq 1$のとき，$e^x>x\log x$であることを示せ．

(3)　$2$直線$l_1\text{，}{l}_3$と$2$曲線$C_1\text{，}{C}_2$によって囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】　$xy$平面上を移動する点$\mathrm{P}$を考える．はじめに，点$\mathrm{P}$は原点にあるとする．$4$枚のカードに上，下，左，右の$4$つの文字を$1$つずつ書いて，それらを袋に入れておく．

$1$枚のカードを取り出し，

カードに書かれた文字の方向に$1$だけ点$\mathrm{P}$を移動させて，

取り出したカードを袋に戻す，

という操作を繰り返す．上，下，左，右と書かれたカードは，それぞれ同じ確からしさで取り出されるものとする．

(1)　上，上，下，左，右，右，右の$7$文字すべてを$1$列に並べてできる文字列は何通りあるか．

(2)　この試行を$7$回くり返したときに，点$\mathrm{P}$が座標$(2,1)$にある確率を求めよ．

(3)　この試行を$5$回くり返したときに，点$\mathrm{P}$が$x$軸上にある確率を求めよ．

(4)　この試行を$2$回くり返したときの点$\mathrm{P}$の座標を$(X,Y)$とする．$|X-Y|$の期待値を求めよ．

【５】　$C$を曲線$a^2{x}^2+y^2=1\text{，}l$を直線$y=ax+2a$とする．ただし，$a$は正の定数である．

(1)　$C$と$l$とが異なる$2$点で交わるための$a$の範囲を求めよ．

(2)　$C$上の点$(x_0,y_0)$における接線の方程式を求めよ．

(3)　(1)における交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とし，点$\mathrm{P}$における$C$の接線と点$\mathrm{Q}$における$C$の接線との交点を$\mathrm{R}(X,Y)$とする．$a$が(1)の範囲を動くとき，$X\text{，}Y$の関係式と$Y$の範囲を求めよ．

【６】　$l$を複素数平面上の直線$z=t(1+i)$（$t$は実数），$\alpha \text{，}\beta$を複素数とする．ただし，点$\alpha$は$l$上にないとする．

(1)　$\alpha =i\beta$または$\alpha =\bar{\beta }$ならば，$l$上のすべての点$z$に対して$\left|{\displaystyle \frac{\bar{z}-\beta }{z-\alpha }}\right|=1$であることを示せ．

(2)　$l$上のすべての点$z$に対して$\left|{\displaystyle \frac{\bar{z}-\beta }{z-\alpha }}\right|=1$ならば，$\alpha =i\beta$または$\alpha =\bar{\beta }$であることを示せ．

(3)　$l$上の異なる$2$定点$z_1\text{，}{z}_2$があって${\displaystyle \frac{\overline{z_1}-\beta }{z_1-\alpha }}$と${\displaystyle \frac{\overline{z_2}-\beta }{z_2-\alpha }}$は同じ複素数になるとする．この複素数を$\gamma$とおくとき，$l$上のすべての点$z$に対し${\displaystyle \frac{\bar{z}-\beta }{z-\alpha }}=\gamma$となることを示せ．また$\gamma$の値を求めよ．