2002　高知大学　前期MathJax

【１】　実数$\theta$の関数

$y=\sin 2\theta +\sin \theta +\cos \theta$

について，以下の問いに答えよ．

(1)　$t=\sin \theta +\cos \theta$とおいて，$y$を$t$の関数で表せ．

(2)　$t$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$y$のとりうる値の範囲を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を実数とする．実数$x$の$4$次関数

$y=x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

のグラフが$2$点$x=\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$のみで$x$軸に接しているとき，

$s=\alpha +\beta \text{，}t=\alpha \beta$

とおく．このとき，係数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を$s\text{，}t$を用いて表せ．

(2)　(1)において，$4$次関数と$x$軸とで囲まれる図形の面積を$\alpha \text{，}\beta$を用いて表せ．

(3)　$y=x^4-2x^3-3x^2-5x+2$に異なる$2$点で接する接線の方程式を求めよ．

【３】　$a\text{，}b$は実数で，$b^2-a^2=1$を満足する．以下の問いに答えよ．

(1)　複素数$z$が次の方程式

${\displaystyle \frac{az-b}{bz-a}}=z$

を満足するとき，$z$は単位円周上にあることを示せ．

(2)　$a\text{，}b$が整数であるとき，上の方程式を満足する$z$を求めよ．

【４】　空間において，原点$\mathrm{O}$に中心を持つ半径$r$の球面上に異なる$3$点$A\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$がある．点$\mathrm{H}$が

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

を満足するとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{H}\ne \mathrm{A}$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$であることを示せ．

(2)　$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が四面体の頂点となるとき，$4$点$\mathrm{H}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$も四面体を作ることを示し，四面体$\mathrm{OABC}$と四面体$\mathrm{HABC}$の体積の比を求めよ．

(3)　$\mathrm{H}=\mathrm{O}$のとき，$▵\mathrm{ABC}$はどのような三角形になるか．

【１】　$n\text{，}k$は$1\leqq k\leqq n$を満たす整数であり，

$a_n={(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n\text{，}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$

とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$n\geqq 2$のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

$2<a_n<2+{\displaystyle \sum _{k=2}^n}{\displaystyle \frac{1}{k!}}$

(2)　$n\geqq 2$のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \sum _{k=2}^n}{\displaystyle \frac{1}{k!}}<1$

(3)　$n\geqq 1$のとき，次の等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \frac{{(n+1)}^n}{n!}}=a_n{a}_{n-1}\cdots a_1$

(4)　$n\geqq 3$のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

$3{\left({\displaystyle \frac{n}{3}}\right)}^n<n!<2{\left({\displaystyle \frac{n}{2}}\right)}^n$

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　次の$2$次方程式の解を求めよ．

$x^2-\sqrt{2}x+1=0$

(2)　(1)で求めた解の中で偏角が小さい方の解を$t$とする．ただし，偏角は$0°$から$360°$の範囲で考える．複素数$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$が等式

$\gamma =(1-t)\alpha +t\beta$

を満足するとき，複素平面上でそれぞれの複素数が表す点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}\mathrm{B}(\beta )\text{，}\mathrm{C}(\gamma )$が作る$▵\mathrm{ABC}$はどのような三角形か．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq 2\pi$において$y=e^{-x}\sin x$の増減，凹凸の表を作り，グラフの概形を描け．

(2)　$n$を$0$以上の整数とする．次の$s_n$を求めよ．

$s_n={\displaystyle {\int }_{n\pi }^{(n+1)\pi }}|e^{-x}\sin x|dx$

(3)　数列$\{a_n\}$を次の様に定義する．

$a_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{s}_k$

　このとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【４】　$A$を$2$次の正方行列とする．また，$\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)$は零でないベクトルとし，次の関係式を満足している．

$A\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)\text{，}A\left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)$

次の問いに答えよ．

(1)　$ad\ne bc$を示せ．

(2)　$n$を正の整数とするとき，$A^n$を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{，}n$を用いて表せ．