2002　九州大学　後期工学部MathJax

【１】　$p\text{，}q$を実数の定数とし，

$y=p{x}^4+5(p-q)x^3+q{x}^2+4(p+q)x+p$

で表される曲線を$C_1$とする．この曲線と原点に関して対称な曲線を$C_2\text{，}y$軸に関して対称な曲線を$C_3$とする．

1.　曲線$C_2\text{，}{C}_3$の方程式を求めよ．

2.　曲線$C_1$と$C_2$の共有点が相異なる$2$点だけであるとき，$p$と$q$がみたすべき条件，および共有点の$x$座標を求めよ．

3.　2.の場合に，曲線$C_1$と$C_2$とで囲まれた部分の面積を$S_1\text{，}$曲線$C_1$と$C_3$とで囲まれた$2$つの部分の面積の和を$S_2$とする．$S_1$と$S_2$の比を求めよ．

【２】　座標平面上を動く長さ$2l\text{（}l>0\text{）}$の線分$\mathrm{AB}$を考える．この線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$とする．時刻$t$における$\mathrm{P}$の座標を$(x(t),y(t))$とし，$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の速度ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{v(t)}\text{，}\overrightarrow{v_{\mathrm{A}}(t)}\text{，}\overrightarrow{v_{\mathrm{B}}(t)}$とする．また，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が$x$軸の正方向となす角を$\theta (t)$とし，それに垂直な単位ベクトルを

$\overrightarrow{e(t)}=(-\sin \theta (t),\cos \theta (t))$

とする．

1.　$\overrightarrow{v(t)}\text{，}{\theta }^{\prime }(t)\overrightarrow{e(t)}$を$\overrightarrow{v_{\mathrm{A}}(t)}\text{，}\overrightarrow{v_{\mathrm{B}}(t)}\text{，}l$を用いて表せ．ただし，${\theta }^{\prime }(t)$は$\theta (t)$の導関数を表す．

2.　線分$\mathrm{AB}$は

$\overrightarrow{v_{\mathrm{A}}(t)}=t\overrightarrow{e(t)}\text{，}\overrightarrow{v_{\mathrm{B}}(t)}=(t+2)\overrightarrow{e(t)}$

をみたしながら運動しているとする．ただし，初期時刻$t=0$のとき$(x(0),y(0))=(l,l^2)\text{，}\theta (0)=0$とする．このとき，$\theta (t)\text{，}x(t)\text{，}y(t)$を$t$の式で表せ．また，点$\mathrm{P}$の原点からの距離$d(t)$を$t$の式で表せ．

【３】　$a$を実数とし

$f(a)={\displaystyle {\int }_{-1}^1}|e^x-a|dx$

とおく．

1.　上記右辺の定積分を求めよ．

2.　$a$がすべての実数の値をとって動くとき，$f(a)$を最小にする$a$の値と$f(a)$の最小値を求めよ．

3.　$2.7<e<2.8$であることを用いて${\displaystyle \frac{2}{3}}<\log 2<{\displaystyle \frac{4}{5}}$を示せ．さらにこの結果を利用して，区間$0\leqq a\leqq 2$における$f(a)$の最大値を求めよ．ただし，$\log$は自然対数を表す．

【４】　四面体$\mathrm{OABC}$において$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．

$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|:\left|\overrightarrow{\mathrm{BP}}\right|=2:\sqrt{3}$

をみたしながら動く点$\mathrm{P}$の軌跡を$S$とする．

1.　$S$は球の表面（球面）であることを示せ．

2.　四面体$\mathrm{OABC}$が正四面体であるとき，頂点$\mathrm{C}$は1.での球の外部にあることを示せ．

3.　2.の場合に，球面$S$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$として，比${\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{BQ}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{CQ}}|}}$を求めよ．