2002　東京都立大　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b$は実数，$b>0$とする．$2$次方程式

$(1-x)(a-x)={\displaystyle \frac{1}{b}}$

について，次の問いに答えよ．

(1)　少なくとも一つ正の解を持つことを示せ．

(2)　一つだけ正の解を持つとき，$a\text{，}b$の満たす関係式を求めよ．また，点$(a,b)$の存在する範囲を図示せよ．

【２】　正四面体$\mathrm{OABC}$の$2$辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{OC}$上の点を，それぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離が最小であるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$で表せ．

(2)　$\theta =\angle \mathrm{OPC}$として，$\cos \theta$を求めよ．

【３】　$xy$平面上の$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の座標を，それぞれ$(0,y_0)\text{，}(1,y_1)\text{，}(2,y_2)\text{，}(3,y_3)$とする．

(1)　$x$についての式を，

$f(x)=ax(x-1)+bx+c$

とする．関数$y=f(x)$のグラフが$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通るとき，$a\text{，}b\text{，}c$を$y_0\text{，}{y}_1\text{，}{y}_2$を用いて表せ．

(2)　$x$について$3$次以下の式で表される関数$y=g(x)$のグラフが$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を通るとする．このとき，関数$y=g(x)-f(x)$のグラフが$3$点$(0,0)\text{，}(1,0)\text{，}(2,0)$を通ることを用いて，$g(x)$を求めよ．

【４】　$0\leqq a\leqq 2$とする．放物線

$y=3x(x-2)$

と直線$x=a\text{，}x=a+1$及び$x$軸で囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$S(a)$を求めよ．

(2)　$a$が$0\leqq a\leqq 2$の範囲を動くとき，$S(a)$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．

【１】　行列

$T=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 3\end{array}\right)$

に対して，行列$S\text{，}N$が，

$T=S+N\text{，}SN=NS=\left(\begin{array}{cc}-2& -2\\ 2& 2\end{array}\right)\text{，}{N}^2=O$

を満たしているとする．次の問いに答えよ．

(1)　$TN$と$ST$を求めよ．

(2)　$S$と$T$を求めよ．

【２】　今後毎年，東京都の外に住む人の${\displaystyle \frac{1}{3}}$が都内へ移住し，都内に住む人の${\displaystyle \frac{1}{3}}$が都外へ移住すると仮定する．$n$年目の都外の人口を$a_n\text{，}$都内の人口を$b_n$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}$を求めよ．ただし，都内と都外の人口の総和は年によらず一定であるとする．

【３】　$a\text{，}b$を実数とする．曲線$y=f(x)=|x-a-b\sin x|$と直線$x=\pi \text{，}x=-\pi$及び$x$軸で囲まれる部分を$x$軸のまわりに回転して得られる回転体の体積を$V$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$V$を求めよ．

(2)　$a\text{，}b$を動かしたとき，$V$の値が最小となるような$a\text{，}b$を求めよ．

【１】　実数$k$がある範囲にあれば，二つの放物線$y=x^2+k\text{，}x=y^2+k$は共有点を持つ．次の問いに答えよ．

(1)　上の二つの放物線の共有点は$k$の値によらず常にある$2$本の直線上にある．この$2$直線を求めよ．

(2)　放物線$y=x^2+k$と(1)で求めた$2$直線との接点の座標をそれぞれ求めよ．

(3)　二つの放物線が，ちょうど$2$個の共有点を持つように，$k$の値の範囲を定めよ．

【２】　$1$辺の長さが$a$の正四面体$\mathrm{ABCD}$が与えられているとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　辺$\mathrm{AC}$と辺$\mathrm{BD}$は垂直であることを示せ．

(2)　辺$\mathrm{AC}$の中点$\mathrm{M}$と辺$\mathrm{BD}$の中点$\mathrm{N}$とを結ぶ線分$\mathrm{MN}$の長さを求めよ．

(3)　直径が$b$の十分に長い円柱の内部に，正四面体$\mathrm{ABCD}$がすっぽりと入るとき，$a\text{，}b$の満たすべき不等式を求めよ．ただし，$\mathrm{MN}$の中点$\mathrm{G}$は円柱の中心軸上にあるものとする．

【３】　$n$枚のカードがあり，それぞれに，$1$から$n$までの相異なる番号がつけられているものとする．次の問いに答えよ．

(1)　この$n$枚のカードから同時に$2$枚取り出すとき，それらのカードの番号が$X\text{，}Y\text{（}X<Y\text{）}$であったとする．$k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$に対して，$X=k$となる確率を求めよ．

(2)　$X$の期待値を求めよ．

(3)　このような$n$枚のカードが$2$組あるものとし，$1$組のカードからは同時に$2$枚を，他方の組からは$1$枚を取り出すものとする．このとき，同時に$2$枚とり出されたカードの番号$X\text{，}Y$と$1$枚取り出されたカードの番号$Z$について$X<Y<Z$となる確率を求めよ．