2002　横浜市立大　前期MathJax

【１】　企業$\mathrm{A}$はある生産物を$x$トン作るのに$(x^3-4x^2+8x)$円だけの費用がかかる．この生産物は$1$トンあたり$p$円で販売される．利潤は$(\text{売り上げ}-\text{費用})$で定義され，$x\text{，}p$は正の実数をとるものとする．

(1)　企業$\mathrm{A}$は，$p$が不等式$\boxed{\text{ア}}$を満たすとき，適当な生産量$x$をとることにより正の利潤を上げることができる．

(2)　$p$が(1)の条件を満たしているとき，利潤を最大にする生産量$x$を$p$の関数として表すと$\boxed{\text{イ}}$となる．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c$を相異なる実数とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$a^{3}b-a{b}^3+b^{3}c-b{c}^3+c^{3}a-c{a}^3$を因数分解すると$(a-b)(a-c)(b-c)\times \boxed{\text{ウ}}$となる．

(2)　${\displaystyle \frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)}}$を計算すると$\boxed{\text{エ}}$となる．

【３】　以下の問いに${\log }_{10}2=0.30103$として答えよ．

(1)　$2^{10}=1024$を用いて${\log }_{10}1.024$の値を求めよ．

(2)　$2.4\%$の複利で$1000$万円を借りた．全く返済をしない場合，負債が$2000$万円を越えるのは何年後か．

(3)　同じ条件で$1000$万円を借り，毎年$48$万円ずつ返済するものとする．例えば$1$年後の負債は$1000\times 1.024-48=976$万円となる．返済が完了するのは何年後か．

【４】　以下の問いに答えよ．

(1)　不等式$|3x-8|+|y+6|\leqq 2$の表す領域を図示せよ．

(2)　(1)の不等式の下で$|x|+|y|$の最大値，最小値を求めよ．

【１】　次の(ア)，(イ)，(ウ)，(エ)，(オ)の空欄に適する数または式を解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(1)　定数$a\text{，}b\text{，}c$に対して$f(x)=(a{x}^2+bx+c)e^{-x}$とする．すべての実数$x$に対して$f^{\prime }(x)=f(x)+x{e}^{-x}$をみたすとき$a\text{，}b\text{，}c$は$\boxed{\text{(ア)}}$である．

【１】　次の(ア)，(イ)，(ウ)，(エ)，(オ)の空欄に適する数または式を解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(2)　「すべての$0$以上の実数$a$に対し，$y\geqq a{x}^2$が成り立つ」ような実数の組$(x,y)$の全体は，集合$\{(x,y)|\boxed{\text{(イ)}}\}$で表される．また「ある$0$以上の実数$a$に対し，$y\geqq a{x}^2$が成り立つ」ような実数の組$(x,y)$の全体は，集合$\{(x,y)|\boxed{\text{(ウ)}}\}$で表される．

【１】　次の(ア)，(イ)，(ウ)，(エ)，(オ)の空欄に適する数または式を解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(3)　行列$A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$と$B=\left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right)$に対して

$T(A,B)=a_{11}{b}_{11}+a_{12}{b}_{12}+a_{21}{b}_{21}+a_{22}{b}_{22}$

とおく．すべての実数$x\text{，}y\text{，}z$に対して$T\left(\right(\begin{array}{cc}x& z\\ z& y\end{array}),(\begin{array}{cc}u& 1\\ v& w\end{array}\left)\right)=0$が成り立つような$u\text{，}v\text{，}w$は$\boxed{\text{(エ)}}$である．また実数$\alpha$に対して$C=\left(\begin{array}{cc}\alpha & 1\\ -1& \alpha \end{array}\right)$とおくとき，$T(C^4,(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\left)\right)=16$となる$\alpha$は$\boxed{\text{(オ)}}$である．

【２】　次の(カ)，(キ)，(ク)，(ケ)，(コ)の空欄に適する数または式を解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(1)　$f(x)=x^4+2x^3+10x^2+(10-2\sqrt{2})x+23$とする．実数$\alpha$に対して，$f(x)$を$x^2+\alpha$で割ったときの余りは$\boxed{\text{(カ)}}$である．このことを用いて$f(x)$を実数の範囲で因数分解すると$\boxed{\text{(キ)}}$である．

【２】　次の(カ)，(キ)，(ク)，(ケ)，(コ)の空欄に適する数または式を解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(2)　$\mathrm{Y}$チームと$\mathrm{G}$チームがあるゲームを複数回行うとする．各ゲームの勝敗は独立とし，どのゲームも$\mathrm{Y}$が勝つ確率を$p\text{，}$負ける確率を$1-p\text{（}0<p<1\text{）}$とする．このとき$\mathrm{Y}$が勝てば$2$円受け取り，負ければ$1$円支払う$\stackrel{\text{か}}{\text{賭}}$けをする．$k$回までに$\mathrm{Y}$が勝つ回数を$R_k$回，賭けで得る差し引き金額を$S_k$円とする．自然数$n$に対して，$R_n$と$S_n$の間の関係は$\boxed{\text{(ク)}}$である．また$S_{3n}=3n$となる確率は$\boxed{\text{(ケ)}}$であり，$S_{3n}=3n+1$となる確率は$\boxed{\text{(コ)}}$である．

【３】　座標平面において，曲線$y=x(x-1)(x-r)\text{（}r>1\text{）}$と$x$軸とで囲まれた図形で$y$座標が$0$以下の部分の面積を$S(r)$とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$S(r)$を$r$を用いて表せ．

(2)　$S(r)$が整数となるような整数$r$を$1200\leqq r\leqq 1210$の範囲ですべて求めよ．

【４】　座標空間において$xy$平面上の半円周$x^2+y^2=a^2\text{（}x\geqq 0\text{）}$を$C$とする．ただし，$a$は正の定数とする．定点$\mathrm{A}(0,0,a)$と$C$上の動点$\mathrm{P}$を結ぶ線分上で$x$座標と$z$座標が等しい点$\mathrm{Q}(X,Y,Z)$の$xy$平面上への垂線の足を$\mathrm{R}(X,Y,0)$とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき$Y$のとる値の範囲を求め，$X$を$Y$の関数として表せ．

(2)　$y$軸と$\mathrm{R}$の軌跡で囲まれる図形を$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．