2002　大阪市立大学　前期MathJax

【１】　$1$辺の長さが$1$の正六角形の$6$つの頂点から，異なる$3$点を無作為に選び，それらを頂点とする三角形$T$を作る．次の問いに答えよ．

問１　三角形$T$が直角三角形である確率を求めよ．

問２　三角形$T$の周の長さの期待値を求めよ．

【２】　一般に，曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における接線に垂直で点$\mathrm{P}$を通る直線を，点$\mathrm{P}$における$C$の法線と呼ぶ．$2$つの放物線

$C_1:y=x^2\text{，}{C}_2:y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{(x-9)}^2$

について，次の問いに答えよ．

問１　点$\mathrm{A}(a,a^2)$における$C_1$の法線$l_1$の方程式，および点$\mathrm{B}(b+9,-{\displaystyle \frac{1}{2}}{b}^2)$における$C_2$の法線$l_2$の方程式を求めよ．ただし，$a\ne 0\text{，}b\ne 0$とする．

問２　上の$l_1$と$l_2$が一致するとき，$a\text{，}b$の値を求め，そのときの線分$\mathrm{AB}$の長さを計算せよ．

【３】　関数$f(x)=x^3+2x^2-4x$に対して，次の問いに答えよ．

問１　曲線$y=f(x)$上の点$(t,f(t))$における接線の方程式を求めよ．

問１　点$(0,k)$から曲線$y=f(x)$に引くことができる接線の本数を，$k$の値によって調べよ．

【４】　複素数平面において四角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4$を考える．ただし，この四角形の頂点は左まわり（反時計まわり）に${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{P}}_4$の順に並んでいるものとする．また，これらの頂点を表す複素数をそれぞれ$z_1\text{，}{z}_2\text{，}{z}_3\text{，}{z}_4$とする．次の問いに答えよ．

問１　四角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4$が正方形のとき

${\displaystyle \frac{z_1-z_2}{z_2-z_3}}$

の値を求めよ．

問２　四角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4$が正方形になるための必要十分条件は

${\displaystyle \frac{z_1-z_2}{z_2-z_3}}={\displaystyle \frac{z_2-z_3}{z_3-z_4}}={\displaystyle \frac{z_3-z_4}{z_4-z_1}}={\displaystyle \frac{z_4-z_1}{z_1-z_2}}$

であることを証明せよ．

【１】　次の極限が有限の値となるように定数$a\text{，}b$を定め，そのときの極限値を求めよ．

$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sqrt{9-8x+7\cos 2x}-(a+bx)}{x^2}}$

【２】　関数$f(x)=ax{e}^{-x}+b$に対して，曲線$C:y=f(x)$を考える．ただし，$a\text{，}b$は定数で，$e$は自然対数の底である．曲線$C$は点$\mathrm{P}(2,-1)$を通り，この点において$C$と楕円$x^2+2y^2=6$とは共通接線$l:y=g(x)$を持つとする．次の問いに答えよ．

問１　$a\text{，}b$の値および$g(x)$を求めよ．

問２　$x<2$のとき$f(x)>g(x)$であることを示せ．

問３　$0\leqq x\leqq 2$の範囲で，曲線$C$と直線$l$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(2,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,2,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,2)$がある．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．線分$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}(p,0,0)\text{（}0<p<2\text{）}$をとり，平面$\mathrm{PDE}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．

問１　点$\mathrm{Q}$の座標を$p$を用いて表せ．

問２　線分$\mathrm{PQ}$の中点は，直線$\mathrm{DE}$上にあることを示せ．

問３　四角形$\mathrm{PDQE}$の面積を$p$の式で表せ．

【４】　実数を成分とする$2$次の正方行列$A\text{，}X$と$J=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$について，$JA=AX$が成立しているとする．次の問いに答えよ．

問１　$A$が逆行列を持つとき，$X^2+E=O$であることを示せ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列を表す．

問２　$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{，}{A}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)$のとき，$A^{\prime }JA$および$A^{\prime }{J}^{2}A$を計算せよ．

問３　$A$が逆行列を持たないとき，$A=O$であることを示せ．