2002　東北学院大学　経済学部経済学科MathJax

【１】　$2$次関数$y=2ax-x^2$の$0\leqq x\leqq 2$における最大値を$M$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とする．

(ⅰ)　放物線$y=2ax-x^2$の頂点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(ⅱ)　$a\leqq 0$のとき，$a$を求めよ．

(ⅲ)　$M=3$のとき，$a$の値を求めよ．

(ⅳ)　$M=5$のとき，$a$の値を求めよ．

【２】　赤球$5$個，青球$4$個，白球$3$個が入っている袋から，$1$個ずつ$3$回球を取り出すとき，次の確率を求めよ．ただし，取り出した球は袋の中に戻さないものとする．

(ⅰ)　取り出される$3$個の球がすべて同じ色である確率

(ⅱ)　取り出される$3$個の球がすべて異なる色である確率

(ⅲ)　$1$回目に取り出される球の色と$3$回目に取り出される球の色が異なる確率

【３】　点$\mathrm{A}(0,3)$で$y$軸に接し，点$\mathrm{B}(1,0)$を通る円を$C$とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　円$C$の半径$r$と中心$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

(ⅱ)　$\angle \mathrm{ADB}=2\theta \text{（}0°<\theta <90°\text{）}$とするとき，$\tan \theta$の値を求めよ．

(ⅲ)　円$C$上に点$\mathrm{P}$をとる．$▵\mathrm{ABP}$の面積が$15$であるとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【４】　$0$でない数$a\text{，}b\text{，}c$が$2^a=3^b={12}^c$を満たすとき，次の等式を証明せよ．

${\displaystyle \frac{ab}{a+2b}}$

【５】　次の和を求めよ．

(ⅰ)　$1-3+5-7+\cdots +{(-1)}^{n-1}(2n-1)+\cdots +197-199+201$

(ⅱ)　${\displaystyle \sum _{k=2}^{100}}{}_{k}C_2$

【６】　座標平面上に，$4$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(3,1)\text{，}\mathrm{B}(4,4)\text{，}\mathrm{C}(1,3)$を頂点とする平行四辺形$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\mathrm{BQ}:\mathrm{QC}=(1-t):t$となるようにとるとき，次の問いに答えよ．ただし，$0<t<1$とする．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の成分を$t$で表わせ．

(ⅱ)　対角線$\mathrm{AC}$と直線$\mathrm{PQ}$が平行であるとき，$t$の値を求めよ．

(ⅲ)　$\angle \mathrm{QOA}=45°$であるとき，$t$の値を求めよ．