2002　東北学院大学　工学部(機械・応物)MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　$n$を自然数とする．$x^{2n+1}$を$x^2-4$で割った余りを求めると$\boxed{\text{（ア）}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$について，

$a_1=1\text{，}{b}_1=2\text{，}\{\begin{array}{c}{a}_{n+1}=a_n+2b_n\\ b_{n+1}=2a_n+b_n\end{array}\text{，}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$

の関係がある．

(ⅰ)　$a_n+b_n$を$n$の式で表わすと，$\boxed{\text{（イ）}}$である．

(ⅱ)　$a_n$を$n$の式で表わすと，$\boxed{\text{（ウ）}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　$\alpha =-1+2\sqrt{3}i\text{，}\beta =-2+\sqrt{3}i$を複素数平面上の$2$点とする．点$\alpha$を中心として，点$\beta$を反時計回りに$30°$回転して得られる点を$\gamma$とすれば，$\gamma =\boxed{\text{（ア）}}$である．ただし，$i$は虚数単位である．

【２】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　$1$辺の長さが$1$の右図の立方体$\mathrm{ABCD}-\mathrm{EFGH}$において，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　対角線$\mathrm{AG}$と辺$\mathrm{EF}$のなす角を$\theta$としたとき，

$\sin \theta =\boxed{\text{（イ）}}$

である．

(ⅱ)　対角線$\mathrm{AG}$と直線$\mathrm{BD}$のなす角は$\boxed{\text{（ウ）}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　$2$次関数$y=x^2-2ax+3a^2+a-1$について，$0\leqq x\leqq 2$の範囲で最小値が正となるような$a$の値の範囲を求めると$\boxed{}$である．

【２】　$u\text{，}v$が$u^2+v^2=1$をみたす実数のとき，

(ⅰ)　$uv$の最大値，最小値を求めよ．

(ⅱ)　$u+v$の最大値，最小値を求めよ．

【１】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　放物線$y=x^2$上に$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$がある．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$の$x$座標の差がそれぞれ$2$という関係と，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$は$x$座標の小さいものから順に並んでいるという関係の$2$つの関係を保ちながら，$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が動くとき，$\angle \mathrm{CAB}$の最大値を求めると，$\boxed{}$である．

【２】　$xy$平面上で，条件

${\log }_{5}x-{\log }_{5}3\leqq {\log }_{5}y\leqq {\log }_{5}x+{\log }_5(1-x)$

を満たす点$(x,y)$と原点とからなる領域を$D$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$D$を図示せよ．

(ⅱ)　$D$の面積を求めよ．

【１】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　$\underset{x\to 8}{\lim }{\displaystyle \frac{a{x}^2+bx+8}{\sqrt[3]{x}-2}}=84$となるような$a\text{，}b$の値は$(a,b)=\boxed{}$である．

【２】　$0\leqq x\leqq 2\pi$における$2$つの関数$y=\sin x\text{，}y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\sin 2x$について次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$2$つの関数のグラフの概形を描け．

(ⅱ)　$2$つの関数のグラフによって囲まれる部分の面積を求めよ．