2002　東北学院大学　教養学部人間科学科，経済学部経営学科MathJax

【１】　座標平面上に$▵\mathrm{ABC}$がある．点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の座標は$\mathrm{B}(-\sqrt{3},0)\text{，}\mathrm{C}(\sqrt{3},0)$で，点$\mathrm{A}$の$y$座標は正とする．$\mathrm{AC}=3\text{，}\angle \mathrm{ABC}=60°$のとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

(ⅱ)　頂点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

(ⅲ)　$2$次関数$y=a{x}^2+bx+c$のグラフが$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通るとき，その$2$次関数を求めよ．

【２】　男子$6$と女子$3$人がいる．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$1$列に並ぶとき，両端に女子がくる並び方は何通りあるか．

(ⅱ)　$1$列に並ぶとき，男子は必ず$2$人が隣り合い，$3$人以上は隣り合わない並び方は何通りあるか．

(ⅲ)　円形に並ぶとき，どの女子も隣り合わない並び方は何通りあるか．

【３】　$a\text{，}b\text{，}c$が$0$以上の実数のとき，次の不等式を証明せよ．

(ⅰ)　$2^a+2^b\leqq 1+2^{a+b}$

(ⅱ)　$2^a+2^b+2^c\leqq 2+2^{a+b+c}$

【４】　直線$l_1:2x-3y+9=0$に関して点$\mathrm{A}(1,8)$と対称な点を$\mathrm{B}$とし，直線$l_2$に関して$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{C}$の座標が$(3,-4)$のとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(ⅱ)　直線$l_2$の方程式を求めよ．

(ⅲ)　$l_1$と$l_2$のなす角を$\theta \text{（}0°<\theta <90°\text{）}$とするとき，$\tan \theta$の値を求めよ．

【５】　数列$\{a_n\}$は

$a_1=2\text{，}{a}_n={\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}{\displaystyle \frac{a_k}{k}}\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしている．$n\geqq 2$のとき，$a_n$を$n$の式で表せ．

【６】　複素数$z$について次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$|z|=|z-3i|$のとき，$|z|$の最小値を求めよ．

(ⅱ)　$|z|=2|z-3i|$のとき，$|z|$の最大値を求めよ．