2002　東北学院大学　工学部(電気，土木)MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　$f(x)=x^2+ax+b$において，$f(1)=2$であるとする．方程式$f(x)=0$の$2$つの解の差が$1$であるとき，これらを満たす$a\text{，}b$の組は$(a,b)=\boxed{\text{（ア）}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　$n$を自然数とする．数列$1^2\text{，}-4^2\text{，}{7}^2\text{，}-{10}^2\text{，}{13}^2\text{，}-{16}^2\text{，}$の第$n$項は$\boxed{\text{（イ）}}$である．また，この数列の第$1$項から第$2n$項までの和$S_{2n}$を求めると$\boxed{\text{（ウ）}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　空間内の互いに直交する長さ$1$のベクトルを$\overrightarrow{u}\text{，}\overrightarrow{v}$とする．定点$\mathrm{A}$を通り方向ベクトルが$\overrightarrow{u}$の定直線を$l\text{，}$定点$\mathrm{B}$を通り方向ベクトルが$\overrightarrow{v}$の定直線を$m$とする．動点$\mathrm{P}$は$l$上を，動点$\mathrm{Q}$は$m$上を動くとき，$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$間の距離の最小値をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{u}\text{，}\overrightarrow{v}$を用いて表わすと$\boxed{\text{（ア）}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　$2$つの複素数$z\text{，}w$は$w={\displaystyle \frac{z+i}{z-i}}$を満たしている．$w=x+yi$（$x\text{，}y$は実数，$i$は虚数単位）と表わしたとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$z$が$|z|=1$を満たしているとき，$w$が複素数平面上で描く図形の方程式を$x\text{，}y$を用いて表わすと，$\boxed{\text{（イ）}}$である．

(ⅱ)　$z$が$|z+i|=1$を満たしているとき，$w$が複素数平面上で描く図形の方程式を$x\text{，}y$を用いて表わすと，$\boxed{\text{（ウ）}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　白玉，赤玉，黄玉，青玉が$1$個ずつ入った袋が$5$袋ある．各袋から$1$個ずつ玉を取り出したとき，赤玉が$3$個以上である確率を求めると$\boxed{}$である．

【２】　$100$以下の自然数について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　相異なる素因数を$3$個以上持つ自然数は何個あるか．

(ⅱ)　奇数のうちで，相異なる素因数を$2$個以上持つ自然数は何個あるか．

【１】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　$\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}=a+b\sqrt{3}$を満たす整数$a\text{，}b$を求めると，$(a,b)=\boxed{}$である．

【２】　関数

$y=f(x)=|2x^3-21x-20|$

のグラフに右図のように相異なる$2$点$\mathrm{P}(\alpha ,f(\alpha ))\text{，}\mathrm{Q}(\beta ,f(\beta ))$で接する直線を$l$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　${\alpha }^2+{\beta }^2\text{，}{\alpha }^3+{\beta }^3$の値を求めよ．

(ⅱ)　$l$の方程式を求めよ．

【１】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　$k$を$0<k<1$なる定数とする．$xy$平面上で動点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$を出発して，$x$軸の正の向きに$1$だけ進み，次に$y$軸の正の向きに$k$だけ進む，さらに$x$軸の負の向きに$k^2$だけ進み，次に$y$軸の負の向きに$k^3$だけ進む．以下このように方向を変え，方向を変えるたびに進む距離が$k$倍される運動を限りなく続けるときの，点$\mathrm{P}$が近づく点の座標は$\boxed{}$である．

【２】　$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}t\sin tdt\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$のとき，$F(x)$の最大値および最小値を求めよ．