2002　学習院大学　文学部MathJax

2002　学習院大学　文学部

25点

2月12日実施

易□　並□　難□

【１】　 $n$ 人の人を $A ， B$ の $2$ 組に分ける．ただし， $n ≧ 2$ とし $A ， B$ の各組に少なくとも $1$ 人は入るものとする．

(1)　このような分け方は何通りあるか．

(2)　 $n$ 人のうち $k$ 人は女性， $n - k$ 人は男性であるとする． $A ， B$ の各組に女性も男性も少なくとも $1$ 人は入る分け方は何通りあるか．ただし， $n ≧ 4 ， 2 ≦ k ≦ n - 2$ とする．

(3)　上の問題(2)において分け方の数が最大になるような $k$ と，そのときの分け方の数を求めよ．

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易□　並□　難□

【２】　初項 $3 ，$ 公差 $- 7$ の等差数列を ${a_{n}}$ とする．

$S_{n} = \frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$

$T_{n} = \frac{1}{a_{1} a_{2} a_{3}} + \frac{1}{a_{2} a_{3} a_{4}} + \dots + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1} a_{n + 2}}$

を求めよ．

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【３】　複素数平面上で， $3$ 点 $0 ， 2 + 3 i ， 3 + 4 i$ を頂点とする三角形と， $3$ 点 $2 + i ， 8 - 3 i ， 10 - 5 i$ を頂点とする三角形とは相似であることを示せ．ただし， $i$ は虚数単位である．

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【４】　関数

$f (x) = {\begin{cases} - 4 x & （ x < 0 のとき） \\ x^{2} & （ x ≧ 0 のとき） \end{cases}$

について次の問いに答えよ．

(1)　関数 $F (t) = \int_{t}^{t + 3} f (x) d x$ を求めよ．

(2)　関数 $F (t)$ を最小にする $t$ の値 $a$ と $F (a)$ を求めよ．

(3)　上の問題(2)において求めた $a$ に対して $f (a)$ と $f (a + 3)$ を計算せよ．