2002　慶応義塾大学　理工学部MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}k$は$a>c\text{，}b>c$を満たす実数とする．$x$の$2$次関数

$f(x)=(x-a)(x-b)+k(x-c)$

について，次の問いに答えなさい．(ア)〜(オ)は$a\text{，}b\text{，}c$だけを用いて表しなさい．

(1)　$f(x)=0$が$2$つの異なる実数解を持つための必要十分条件は

$k>{(\boxed{\text{(ア)}})}^2\text{または}k<{(\boxed{\text{(イ)}})}^2$

である．

(2)　(1)の条件が成り立たないとき，その解は$k$を変化させると複素平面上に軌跡を描く．この軌跡で囲まれる領域の面積は$\boxed{\text{(ウ)}}$である．

(3)　$f(x)=0$が純虚数解を持つための必要十分条件は

$k=\boxed{\text{(エ)}}\text{かつ}\boxed{\text{(オ)}}>0$

である．

(4)　$a\text{，}b\text{，}c$は条件$\boxed{\text{(オ)}}<0$を満たすものとする．$f(x)=0$が重解を持つような$k$は，各$a\text{，}b\text{，}c$に対し$2$つ存在することと，それぞれの$k$によって定まる重解は共に正か，共に負であることを証明し，それらを$\boxed{\text{(カ)}}$に書きなさい．

【２】　$n$を$3$以上の自然数とする．$n$個の箱に$2n$個のボールをでたらめに入れる．すなわち$n^{2n}$通りのボールの入れ方が同様の確からしさでおこるとする．$k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$に対し，$k$番目の箱が空であるという事象を${\mathrm{A}}_k\text{，}k$番目の箱にボールが$1$個だけ入っているという事象を${\mathrm{B}}_k$とする．また，空の箱の個数を$M_n\text{，}$ボールが$1$個だけ入った箱の個数を$N_n$とする．このとき，次の(キ)〜(シ)を求めなさい．ただし(ケ)，(シ)は$e(=\underset{h\to 0}{\lim }{(1+h)}^{\frac{1}{h}})$を用いて表しなさい．

　${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{B}}_1$の起こる確率はそれぞれ$P({\mathrm{A}}_1)=\boxed{\text{(キ)}}\text{，}P({\mathrm{B}}_1)=\boxed{\text{(ク)}}$となる．$M_n$の期待値$E(M_n)$は事象${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_n$の起こる確率の和となるので，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}E(M_n)=\boxed{\text{(ケ)}}$となる．また$P({\mathrm{A}}_1\cap B_2)=\boxed{\text{(コ)}}$であり，積$M_n{N}_n$の期待値は事象${\mathrm{A}}_j\cap {\mathrm{B}}_k\text{（}j\text{，}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$の起こる確率の和となるので，$E(M_n{N}_n)=\boxed{\text{(サ)}}$となり，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n^2}}E(M_n{N}_n)=\boxed{\text{(シ)}}=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}E(M_n)\times \underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}E(N_n)$

が成り立つ．

【３】　$xyz$座標空間内の点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(1,0,2)\text{，}\mathrm{C}(-1,0,2)\text{，}\mathrm{D}(-1,0,0)$を頂点とする光を通さない正方形の板 $\mathrm{ABCD}$に，時刻$t$とともに変化するベクトル$(\sqrt{2}\cos t,-\sin t,-\sin t)\text{（}0<t<\pi \text{）}$の方向に進む平行光線があたってできる陰影について考える．時刻$t\text{，}t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}(0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$において板$\mathrm{ABCD}$が$xy$平面上につくる四角形の影をそれぞれ$\mathrm{A}{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }\mathrm{D}\text{，}\mathrm{A}{\mathrm{B}}^{″}{\mathrm{C}}^{″}\mathrm{D}$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　${\mathrm{B}}^{\prime }$の座標は$\boxed{\text{(ス)}}$で，四角形$\mathrm{A}{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }\mathrm{D}$の面積は$\boxed{\text{(セ)}}$である．

(2)　線分$\mathrm{D}{\mathrm{C}}^{\prime }$と線分$\mathrm{A}{\mathrm{B}}^{″}$との交点の座標は$\boxed{\text{(ソ)}}$となり，時刻$t$から時刻$t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}(0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$までの間連続して板$\mathrm{ABCD}$の影になっている$xy$平面上の部分の面積は$\boxed{\text{(タ)}}$である．

(3)　時間${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$以上連続して板$\mathrm{ABCD}$の影になっている$xy$平面上の部分の面積は$\boxed{\text{(チ)}}$である．また，$xyz$空間内において時間${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$以上連続して板$\mathrm{ABCD}$の影になっている$z\geqq 0$の部分の体積は$\boxed{\text{(ツ)}}$である．

【４】　球面を輪切りにして，それぞれの部分を円錐の側面の一部分で近似することによって，球の表面積を求めることを考える．

(1)　半径$r\text{（}>0\text{）}$の半円$S:y=\sqrt{r^2-x^2}$と直線$L_s:y=s\text{（}0<s<r\text{）}$は$2$つの交点をもつ．それぞれの交点における半円$S$の$2$本の接線は点$(0,\boxed{\text{(テ)}})$で交わる．この$2$本の接線と直線$L_s$で囲まれた三角形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる円錐の側面積は$\boxed{\text{(ト)}}$である．さらに，この円錐から平面$y=t\text{（}0<s<t\leqq r\text{）}$より上にある部分を取り除いた立体図形の側面積は$\pi r(t-s)\times \boxed{\text{(ナ)}}$である．

(2)　$n$を自然数とし，$k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n-1$とする．(1)で定義された立体図形で，$s={\displaystyle \frac{k}{n}}r\text{，}t={\displaystyle \frac{k+1}{n}}r$のときの側面積を$A_k$と表すと，

$A_k={\displaystyle \frac{2\pi r^2}{n}}-{\displaystyle \frac{\pi r^2}{n^2}}\times \boxed{\text{(ニ)}}$

となる．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}{A}_k=2\pi r^2$を証明し，それを$\boxed{\text{(ヌ)}}$に書きなさい．

【５】　整数を係数とする多項式$f(x)$について，次のことを証明しなさい．

(1)　任意の整数$m\text{，}n$に対し$f(n+m)-f(n)$は$m$の倍数である．

(2)　任意の整数$k\text{，}n$に対し$f(n+f(n)k)$は$f(n)$の倍数である．

(3)　任意の自然数$n$に対し$f(n)$が素数であるならば，$f(x)$は定数である．