2002　慶応義塾大学　総合政策学部MathJax

【１】　$2$つの$2$次曲線

$\{\begin{array}{l}{x}^2+{(y-a)}^2=1\\ y=b{x}^2\end{array}$

を考える．$a\text{，}b$は実数で$a\geqq -10\text{，}b>0$とする．$a$を$-10$から増やしていくと，$2$つの曲線の共有点の数は$0\text{，}1\text{，}\boxed{\text{ア}}\text{，}\boxed{\text{イ}}\text{，}\boxed{\text{ウ}}\text{，}\boxed{\text{エ}}\text{，}0$と変化する場合と，$0\text{，}1\text{，}\boxed{\text{オ}}\text{，}\boxed{\text{カ}}\text{，}0$と変化する場合がある．前者は$b>{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$の場合である．$2$つの曲線が$2$点で接するとき$a\text{，}b$は

$\boxed{\text{ケ}}{b}^2-\boxed{\text{コ}}ab+1=0$

を満たす．ただし，$2$つの曲線がある点で接するとは，その点を接点とする共通の接線を持つことである．また共有点が$3$点であり，その$3$点を結ぶと正三角形ができるとき

$a=\boxed{\text{サ}}\text{，}b=\boxed{\text{シ}}$

である．

【２】　格子状に$16$個の正方形の小部屋があり，その中に一匹のねずみを入れ，その行動を観察する．小部屋は図のように番号がつけられ，各小部屋からは隣の小部屋に通路があり，番号$4\text{，}13\text{，}16$以外の小部屋の間では自由に行き来できる．番号$4\text{，}13\text{，}16$の小部屋に一度はいったら決して出ることはできないものとする．いま，ねずみは通路の選択を同程度に行うと仮定する．たとえば，番号$5$から番号$6$への通路を選択する確率は${\displaystyle \frac{1}{3}}$である．番号$4\text{，}13$の小部屋には餌が置いてあり，ねずみはここに到達すれば餌にありつくことができる．

　ねずみを番号$n$の小部屋に入れた場合，ねずみが餌にありつける確率$P_n$を求めたい．そのためにそれらの確率の間の関係式を求める．当然のことながら，$P_4=P_{13}=1\text{，}{P}_{16}=0$である．たとえば

$P_6={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}(P_2+P_5+P_7+P_{10})\text{，}{P}_3={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}(\boxed{\text{オ}}+P_2+P_7)$

である．これらの関係式を解くことによって$P_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$を得る．もし番号$16$の小部屋も自由に行き来できるとすると，$P_1=\boxed{\text{ク}}$となる．

【３-１】(1)　直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+1$を複素数を用いて表すと

$z=x+iy\text{，}\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}+\boxed{\text{ウ}}i}{4}}$

として

$\bar{\alpha }z+\alpha \bar{z}-1=0$

と表される．

(2)　次の等式を成り立たせる実数$x\text{，}y$を求める．

$(1+i)x^2+(1-5i)xy+(2+6i)y^2=56$

答えは$4$組の$x\text{，}y$が存在し

$\{\begin{array}{l}x=\boxed{\text{エ}}\\ y=\boxed{\text{オ}}\end{array}\text{，}\{\begin{array}{l}x=\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}\\ y=\sqrt{\boxed{\text{ク}}}\end{array}$

の$2$組と，この符号を変えた$2$組である．

【３-２】　次のプログラムの説明文の中の問ケから問チにおいて，与えられた選択肢から最も適切なものを選び，その番号を解答欄の$\boxed{\text{ケ}}$から$\boxed{\text{チ}}$に記入しなさい．

100 A, B, C

200 IF A = 0 THEN GOTO 600

210 D = B * B - 4 * A * C

220 IF D = 0 THEN GOTO 500

230 IF D < 0 THEN GOTO 400

300 IF B < 0 THEN GOTO 350

310 X1 = - B - SQR(D)

320 GOTO 360

350 X1 = - B + SQR(D)

360 X1 = X1 / (2 * A)

370 X2 = C / (A * X1)

380 PRINT " REAL SOLUTIONS ", X1, X2

390 GOTO 100

400 PRINT " NO REAL SOLUTION "

410 GOTO 100

500 X1 = - B / (2 * A)

510 PRINT " DOUBLE SOLUTION ", X1

520 GOTO 100

600 END

二次関数$a{x}^2+bx+c$を$a{(x-p)}^2+q$の形に変型することを，平方完成という．これから二次方程式$a{x}^2+bx+c=0$の解の公式が得られる．このとき，$-4aq$を二次方程式の判別式という．判別式が負のとき，解はない．$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とするとき，解と係数の関係式$\alpha +\beta =-{\displaystyle \frac{b}{a}}\text{，}\alpha \beta ={\displaystyle \frac{c}{a}}$が成り立つ．$\alpha =\beta$のとき，重解という．

　プログラムは係数 A ，B，C を与えたときの｛問ケ：(1)一次方程式を解く　(2)二次方程式を解く　(3)三次方程式を解く｝プログラムである．係数 A の値が$0$でない限り，対応する方程式の解を計算する．文番号 100 で係数を入力し，文番号 200 で A の値を調べて，その値が｛問コ：(1)$-1$　(2)$0$　(3)$1$｝の時，計算を終了する．文番号 210 では｛問サ：(1)解の公式　(2)判別式　(3)平方完成｝の計算を行っている．文番号 220 では｛問シ：(1)異なる$2$つの解の　(2)重解の　(3)解がない｝場合の処理を文番号 500 以下で行わせている．文番号 230 では｛問ス：(1)異なる$2$つの解の　(2)重解の　(3)解のない｝場合の処理を文番号 400 以下で行わせている．文番号 300 から 390 までは｛問セ：(1)異なる$2$つの解の　(2)重解の　(3)解がない｝場合の処理を行っている．

　解の公式を用いているが，係数 B の絶対値と判別式の平方根が近い値をもつとき，分子の絶対値が小さくなる場合がある．このときは計算される解の精度が失われるので，分子の絶対値が大きい方の解を先に計算する工夫がなされている．こうして$1$つの解を計算した後，他の解は文番号 370 で｛問ソ：(1)解の公式　(2)解と係数の関係式　(3)判別式｝を使って計算し，文番号 380 で結果を表示している．

　次の文番号 390 では，文番号 100 に飛んで次の計算のための係数を読み込む．文番号 400 では｛問タ：(1)異なる$2$つの解の　(2)重解の　(3)解がない｝場合の処理を行ない，文番号 410 で文番号 100 に飛んで次の計算のための係数を読み込む．文番号 500 と 510 で｛問チ：(1)異なる$2$つの解の　(2)重解の　(3)解がない｝場合の処理を行っている．文番号 520 で文番号 100 に飛んで次の計算のための係数を読み込む．

【４】　$3$次関数$f(x)$の増減表が次のように与えられている．

　このとき$a=\boxed{\text{ア}}$であり

$f(x)=\boxed{\text{イ}}{x}^3+\boxed{\text{ウ}}{x}^2+\boxed{\text{エ}}x+1$

である．

【５】(1)　$\mathrm{A}$氏，$\mathrm{B}$氏，$\mathrm{C}$氏，$\mathrm{D}$氏の$4$人がある議題の採決を行う．最初に公平な抽選によって投票の順番を決め，各自は議案の賛否を投票する．議案は$\mathrm{A}$氏と他の$1$名の賛成をもって可決する．さて投票の順番が決まったとき，自分より前の投票者がすべて賛成すると仮定し，自分の賛成の投票によって議案が可決するとき，”賛否に影響を与える立場にいる”と解釈する．例えば投票の順番が$\mathrm{CDBA}$のとき，$\mathrm{C}$氏，$\mathrm{D}$氏，$\mathrm{B}$氏が賛成の投票をしても議案は可決しないので，$\mathrm{A}$氏が”賛否に影響を与える立場にいる”ことになる．この採決の方法において，各自の”賛否に影響を与える立場にいる”ことになる確率を求めよ．

$\mathrm{A}:{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}\mathrm{B}:{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\text{，}\mathrm{C}:{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\text{，}\mathrm{D}:{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

(2)　投票者が$\mathrm{A}$氏，$\mathrm{B}$氏，$\mathrm{C}$氏，$\mathrm{D}$氏，$\mathrm{E}$氏，$\mathrm{F}$氏の$6$人で，議案が$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$両氏と残りの$2$名の賛成をもって可決する場合を考える．抽選により投票の順番が決まったとき，自分より前の投票者がすべて賛成すると仮定し，自分の賛成の投票によって議案が可決するとき，”賛否に影響を与える立場にいる”と解釈する．この採決の方法において，各自の”賛否に影響を与える立場にいる”ことになる確率を求めよ．

$\mathrm{A}:{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\text{，}\mathrm{B}:{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\text{，}\mathrm{C}:{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$

$\mathrm{D}:{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\text{，}\mathrm{E}:{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{サ}}}}\text{，}\mathrm{F}:{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$