2002　上智大学　地球法，外国語2月5日実施MathJax

【１】

(1)　次の$\boxed{\text{あ}}\text{〜}\boxed{\text{お}}$には下の選択肢の中から正しいものを選べ．

　$a\text{，}b$を実数とする．$xy$平面上の$2$直線

$ax-y=2b$

$x+(a-2)y=b+1$

がただ$1$つの共有点をもつための必要十分条件は，$a\boxed{\text{あ}}$であり，共有点をもたないための必要十分条件は，$a\boxed{\text{い}}$かつ$b\boxed{\text{う}}$であり，$2$つ以上の共有点をもつための必要十分条件は，$a\boxed{\text{え}}$かつ$b\boxed{\text{お}}$である．

選択肢：

• $\text{①}$　$=0$
• $\text{②}$　$>0$
• $\text{③}$　$<0$
• $\text{④}$　$\ne 0$
• $\text{⑤}$　$=1$
• $\text{⑥}$　$>1$
• $\text{⑦}$　$<1$
• $\text{⑧}$　$\ne 1$

【１】

(2)　$a\text{，}b>1$に対して，${\log }_{ab}{\displaystyle \frac{a+b}{2}}$の最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

【１】

(3)　$\mathrm{A}$を頂点とする円すいにおいて，$\mathrm{O}$を底面の中心，$\mathrm{B}$を底面の周上の点とし，$\mathrm{AB}=1\text{，}\angle \mathrm{OAB}=\theta$（ただし，$0°<\theta <90°$）とする．この円すいの体積は

${\displaystyle \frac{\pi }{3}}(\boxed{\text{ウ}}{\cos }^3\theta +\boxed{\text{エ}}{\cos }^2\theta +\boxed{\text{オ}}\cos \theta )$

となり，$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{カ}}}}{\boxed{\text{キ}}}}$のとき最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}}{\boxed{\text{コ}}}}\pi$をとる．

【２】　$xy$平面上の$2$つの放物線$C_1:y=x^2$と$C_2:y=-2x^2+7x-5$について，以下の問いに答えよ．

(1)　直線$l_1:y=m(x-2)+3$が$C_1$と接するのは，$m=\boxed{\text{サ}}\text{，}\boxed{\text{シ}}$（ただし$\boxed{\text{サ}}<\boxed{\text{シ}}$）のときで，そのとき接点はそれぞれ$(\boxed{\text{ス}},\boxed{\text{セ}})\text{，}(\boxed{\text{ソ}},\boxed{\text{タ}})$である．

(2)　$l_1$が$C_1$とも$C_2$とも共有点をもたない$m$の値の範囲は，

$\boxed{\text{チ}}<m<\boxed{\text{ツ}}$

である．

(3)　直線$l_2:y=k$が$2$つの放物線$C_1\text{，}{C}_2$の両方と共有点をもつ$k$の値の範囲は，

$\boxed{\text{テ}}\leqq k\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$

である．

(4)　$\boxed{\text{テ}}<k<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$に対して，$l_2$と$C_1$の$2$つの交点の間の距離と，$l_2$と$C_2$の$2$つの交点の間の距離が等しくなるのは$k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$のときであり，このとき，$l_2$と$C_1$で囲まれる図形の面積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$である．

【３】　右図のような$xy$平面上の経路を通って，原点から点$(3,3)$まで，最短の道すじで移動する．ただし，進める方向が$2$つある場合，確率${\displaystyle \frac{2}{3}}$で$x$軸方向へ進み，確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で$y$軸方向へ進むものとする．

(1)　原点から点$(3,3)$までの最短の道すじは全部で$\boxed{\text{ハ}}$通りある．

(2)　点$(3,0)\text{，}(2,1)\text{，}(3,1)$を通る確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}\text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}\text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}$である．

(3)　通る確率が最も低い点は$(\boxed{\text{ム}},\boxed{\text{メ}})$であり，その確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{モ}}}{\boxed{\text{ヤ}}}}$である．

(4)　原点と点$(3,3)$以外で通る確率が最も高い点は$(\boxed{\text{ユ}},\boxed{\text{ヨ}})$であり，その確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ラ}}}{\boxed{\text{リ}}}}$である．