2002　上智大学　文，法学部2月7日実施MathJax

【１】

(1)　$f(\theta )=7{\sin }^2\theta -8\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta$の$0°\leqq \theta <360°$における最大値を$m_1\text{，}$最小値を$m_2$とする．このとき，

$f(\theta )=\boxed{\text{ア}}+\boxed{\text{イ}}\sin 2\theta +\boxed{\text{ウ}}\cos 2\theta$

$\phantom{f(\theta )}=\boxed{\text{ア}}+\boxed{\text{エ}}\sin (2\theta +\alpha )$

ただし，$\boxed{\text{エ}}>0$とし，$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\text{，}\sin \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．したがって，$m_1+m_2=\boxed{\text{オ}}\text{，}{m}_1{m}_2=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】

(2)　$a>0$とし，放物線$y=a{x}^2$上の点$\mathrm{P}(1,a)$における接線を$l\text{，}$点$\mathrm{P}$を通り$l$と直交する直線を$l^{\prime }\text{，}y$軸と$l^{\prime }$の交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，線分$\mathrm{PQ}\text{，}y$軸および放物線$y=a{x}^2$で囲まれる図形の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}a+{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ケ}}a}}$となり，$a={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{コ}}}}{\boxed{\text{サ}}}}$のとき最小値${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{ス}}}}$をとる．

【２】　$xy$平面上の$4$点$\mathrm{A}(0,3)\text{，}\mathrm{B}(4,0)\text{，}\mathrm{C}(-2,-3)\text{，}\mathrm{D}(-3,-1)$を頂点とする四角形$\mathrm{ABCD}$の周と内部をあわせた領域を$K$とする．

(1)　$\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{BCD}=\boxed{\text{セ}}°$であり，$K$の面積は$\boxed{\text{ソ}}$である．

(2)　$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$は同一円周上にあり，その円の中心は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}})\text{，}$直径の長さは$\boxed{\text{ト}}\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}$である．

(3)　点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線の方程式は$\boxed{\text{ニ}}x+\boxed{\text{ヌ}}y-12=0$である．

(4)　円$O:{(x-a)}^2+{(y-{\displaystyle \frac{a^2}{3}})}^2={\displaystyle \frac{81}{25}}$の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$であり，中心は放物線$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}{x}^2$の上にある．

(5)　円$O$が$K$とただ$1$点を共有するのは，$a$が

$\boxed{\text{フ}}\text{または}\boxed{\text{ヘ}}-\sqrt{\boxed{\text{ホ}}}$

のときである．

【３】　図１のように${\mathrm{A}}_1(0,0)\text{，}{\mathrm{A}}_2(5,0)\text{，}{\mathrm{A}}_3(5,5)\text{，}{\mathrm{A}}_4(0,5)\text{，}{\mathrm{P}}_1(1,1)\text{，}{\mathrm{P}}_2(2,1)\text{，}{\mathrm{P}}_3(2,3)\text{，}{\mathrm{P}}_4(1,3)$がある．図２のように，正方形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_4$を底面とする高さ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1=4$の直方体${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_4-{\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2{\mathrm{B}}_3{\mathrm{B}}_4$と，長方形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4$を底面とする高さ${\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1=4$の直方体${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4-{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2{\mathrm{Q}}_3{\mathrm{Q}}_4$がある．

(1)　点$\mathrm{R}$が${\mathrm{P}}_4{\mathrm{Q}}_4$上にあり，${\mathrm{P}}_4\mathrm{R}=2$のとき，${({\mathrm{A}}_1\mathrm{R}+\mathrm{R}{\mathrm{B}}_3)}^2=\boxed{\text{マ}}+\boxed{\text{ミ}}\sqrt{\boxed{\text{ム}}}$である．

(2)　点$\mathrm{R}$が${\mathrm{P}}_4{\mathrm{Q}}_4$上を動くとき，${({\mathrm{A}}_1\mathrm{R}+\mathrm{R}{\mathrm{B}}_3)}^2$は${\mathrm{P}}_4\mathrm{R}=\boxed{\text{メ}}+\boxed{\text{モ}}\sqrt{\boxed{\text{ヤ}}}$のとき最小値$\boxed{\text{ユ}}+\boxed{\text{ヨ}}\sqrt{\boxed{\text{ラ}}}$をとる．

(3)　点$\mathrm{R}$が${\mathrm{P}}_2{\mathrm{Q}}_2$上または${\mathrm{P}}_4{\mathrm{Q}}_4$上を動くとき，${({\mathrm{A}}_1\mathrm{R}+\mathrm{R}{\mathrm{B}}_3)}^2$の最小値は$\boxed{\text{リ}}+\boxed{\text{ル}}\sqrt{\boxed{\text{レ}}}$である．