2002　上智大学　経済(経営)学部2月8日実施MathJax

【１】

(1)　次の計算をせよ．

${\displaystyle \frac{1}{3}}{\log }_{3}125+{\log }_{\sqrt{3}}4-{\log }_{9}64={\log }_3\boxed{\text{ア}}$

【１】

(2)　$6$つの数字$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5$から異なる$3$つを選び，それらを並べて$3$けたの数を作る．このとき偶数は$\boxed{\text{イ}}$通りある．

【１】

(3)　$x^3$の係数が$1$である$3$次関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸との交点の$x$座標は，$0\text{，}a\text{，}1$である．ただし，$0<a<1$とする．点$(a,0)$における$y=f(x)$のグラフの接線$l$の傾きは$\boxed{\text{ウ}}{a}^2+\boxed{\text{エ}}a$である．接線$l$と$y$軸との交点を$\mathrm{P}$とする．原点$\mathrm{O}$から$\mathrm{P}$までの距離は，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$のとき最大となる．

【２】　$y=x^2$のグラフを平行移動して，頂点を$(a,a)$に移した放物線を$A\text{，}$放物線$y=-2x^2+3$を$C$とする．

(1)　$A$と$C$が共有点をもつための必要十分条件は，

$\boxed{\text{キ}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$

である．

(2)　$a=3$とするとき，$2$本の直線

$l_1:y=\boxed{\text{コ}}x+\boxed{\text{サ}}\text{，}{l}_2:y=\boxed{\text{シ}}x+\boxed{\text{ス}}$

（ただし$\boxed{\text{コ}}<\boxed{\text{シ}}$とする）は共に$A$と$C$の共通な接線であり，$l_1$と$C$との接点は$(\boxed{\text{セ}},\boxed{\text{ソ}})\text{，}{l}_2$と$C$との接点は$(\boxed{\text{タ}},\boxed{\text{チ}})$である．

【３】　座標平面においてベクトル$\overrightarrow{a}=(2,0)$と大きさが等しく，$\overrightarrow{a}$とのなす角が$120°$であるベクトルは$(\boxed{\text{ツ}},\pm \sqrt{\boxed{\text{テ}}})$である．$\overrightarrow{b}=(\boxed{\text{ツ}},\sqrt{\boxed{\text{テ}}})$とおく．整数$m\text{，}n$により$m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$と表されるベクトル$\overrightarrow{x}$であって，その大きさが$\overrightarrow{a}$と等しいものをすべて求めよう．

　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}=\boxed{\text{ト}}$であり，

$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{x}=\boxed{\text{ナ}}{m}^2+\boxed{\text{ニ}}mn+\boxed{\text{ヌ}}{n}^2$

であるから，

${(m+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}n)}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}{n}^2=\boxed{\text{フ}}$

となる．$m\text{，}n$が整数であることより，このような$m\text{，}n$の組は全部で$\boxed{\text{ヘ}}$個ある．その中で$m+n$が最小なものは$m=\boxed{\text{ホ}}\text{，}n=\boxed{\text{マ}}$である．