2002　上智大学　法(法律)学部2月9日実施MathJax

【１】　$xy$平面上で，連立不等式

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2\leqq 25\\ x-7y+25\geqq 0\end{array}$

の表す領域を$D$とする．

(1)　円$x^2+y^2=25$と直線$x-7y+25=0$は$2$点$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})\text{，}(\boxed{\text{ウ}},\boxed{\text{エ}})$で交わる．ただし$\boxed{\text{ア}}<\boxed{\text{ウ}}$とする．

(2)　点$(x,y)$が領域$D$内を動くとき，$k=x+2y$とおく．

(ⅰ)　$x=\boxed{\text{オ}}\text{，}y=\boxed{\text{カ}}$のとき，$k$は最大値$\boxed{\text{キ}}$をとる．

(ⅱ)　$x=\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}\text{，}y=\boxed{\text{コ}}\sqrt{\boxed{\text{サ}}}$のとき，$k$は最小値$\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}$をとる．

(3)　直線$y=m(x+7)+1$が領域$D$と共有点をもつ$m$の値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\leqq m\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$

である．

【２】　次の放物線$C$を考える．

$C:y=-{\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\theta }}{x}^2+(\tan \theta )x$

　ただし$-90°<\theta <90°$とする．

(1)　放物線$C$の頂点を$(X,Y)$とすると，

$X={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}\sin 2\theta \text{，}Y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}(\cos 2\theta +\boxed{\text{ニ}})$

である．$X\text{，}Y$は

$X^2+\boxed{\text{ヌ}}{Y}^2+\boxed{\text{ネ}}Y=0$

をみたす．

(2)　$x$軸と$C$が原点と異なる共有点$(z,0)$をもつとする．$z$は$\theta =\boxed{\text{ノ}}°$のとき，最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$をとる．

(3)　$\theta$が$-90°<\theta <90°$を動くとき，$C$が通る領域は，

$x\ne \boxed{\text{フ}}$のとき，$y\leqq \boxed{\text{ヘ}}{x}^2+\boxed{\text{ホ}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}$

$x=\boxed{\text{フ}}$のとき，$y=\boxed{\text{ム}}$

である．

【３】　正方形が$7$個，横に並んでいる．これらのすべての正方形を右図のように白または黒にぬる．

(1)　異なるぬり方は$\boxed{\text{メ}}$通りである．

(2)　図２のように，黒が$5$個以上連続する部分があるぬり方は$\boxed{\text{モ}}$通りある．

(3)　図３のように，黒が$4$個連続する部分があって$5$個以上連続しないぬり方は$\boxed{\text{ヤ}}$通りある．

(4)　黒が$3$個連続する部分があって$4$個以上連続しないぬり方は$\boxed{\text{ユ}}$通りある．

(5)　黒が$2$個連続する部分があって$3$個以上連続しないぬり方は$\boxed{\text{ヨ}}$通りある．

(6)　黒が$2$個以上連続しないぬり方は$\boxed{\text{ラ}}$通りある．