2002　上智大学　経済(経済)学部2月11日実施MathJax

【１】　空間の点$\mathrm{A}(1,1,0)\text{，}\mathrm{B}(1,-1,0)$の位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$とする．ただし位置ベクトルの基点は原点$\mathrm{O}(0,0,0)$とする．

(1)　点$\mathrm{C}(2,4,0)$の位置ベクトルは$\boxed{\text{ア}}\overrightarrow{a}+\boxed{\text{イ}}\overrightarrow{b}$と表される．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}$を通る直線を$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{u}$とベクトル表示したとき，点$\mathrm{C}$に対する$t$の値が$-3$ならば，

$\overrightarrow{u}=({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}},\boxed{\text{オ}},0)$

である．

(3)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と直交し大きさが等しく，$x$成分が正であり，$z$成分が$0$であるベクトルは，$(\boxed{\text{カ}},\boxed{\text{キ}},0)$である．

(4)　点$\mathrm{D}(4,-2,0)$とするとき，三角形$\mathrm{COD}$の面積は三角形$\mathrm{AOB}$の面積の$\boxed{\text{ク}}$倍である．

(5)　点$\mathrm{E}(\boxed{\text{ケ}},\boxed{\text{コ}},\pm \sqrt{\boxed{\text{サ}}})$の位置ベクトルの大きさは点$\mathrm{C}$の位置ベクトルの大きさに等しく，またベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CE}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{DE}}$の大きさにも等しい．

【２】　$x\text{，}y$についての整式$x^2+y^2-2ax-2by+2$を$F$とする．

(1)　座標平面上のすべての点$(x,y)$に対して$F\geqq 0$となるための$a\text{，}b$に関する必要十分条件は

$a^2+\boxed{\text{シ}}ab+\boxed{\text{ス}}{b}^2\leqq \boxed{\text{セ}}$

である．

(2)　直線$x+y=1$の上にあるすべての点$(x,y)$に対して$F\geqq 0$となるための$a\text{，}b$に関する必要十分条件は

$a^2+\boxed{\text{ソ}}ab+\boxed{\text{タ}}{b}^2+\boxed{\text{チ}}a+\boxed{\text{ツ}}b\leqq \boxed{\text{テ}}$

である．

(3)　領域$x^2+y^2\leqq 1$にあるすべての点$(x,y)$に対して$F\geqq 0$となるための$a\text{，}b$に関する必要十分条件は

$a^2+\boxed{\text{ト}}ab+\boxed{\text{ナ}}{b}^2\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$

である．

【３】　実数$a$に対して$I(a)=a+3{\displaystyle {\int }_0^2}x|x-a|dx$とする．

(1)　$I(a)$の値は次で与えられる．

$\begin{array}{lll}a\leqq \boxed{\text{ネ}}& \text{ ならば}& I(a)=\boxed{\text{ノ}}a+\boxed{\text{ハ}}\\ \boxed{\text{ネ}}\leqq a\leqq \boxed{\text{ヒ}}& \text{ ならば }& I(a)=\boxed{\text{フ}}{a}^3+\boxed{\text{ヘ}}{a}^2+\boxed{\text{ホ}}a+\boxed{\text{マ}}\\ \boxed{\text{ヒ}}\leqq a& \text{ ならば}& I(a)=\boxed{\text{ミ}}a+\boxed{\text{ム}}\end{array}$

(2)　$I(a)$は$a={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{メ}}}}{\boxed{\text{モ}}}}$のときに最小値$\boxed{\text{ヤ}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ユ}}}{\boxed{\text{ヨ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ラ}}}$をとる．