2002　上智大学　理工（機械・化学）学部2月11日実施MathJax

【１】　半径が$1\text{，}$中心角が$\theta (0<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の扇形$\mathrm{AOB}$を考える．ただし$\mathrm{O}$は原点で$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\angle \mathrm{AOB}=\theta \text{，}\mathrm{B}$の$y$座標は正である．この扇形に内接する円の中心を$\mathrm{P}(x,y)$とする．

(1)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき$x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\boxed{\text{ア}}}}}\text{，}y={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

(2)　一般に点$\mathrm{P}$は曲線$C$

$C:\boxed{\text{ウ}}{x}^m+\boxed{\text{エ}}y=1\text{，}m=\boxed{\text{オ}}$

の上にある．

(3)　点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線を$l$とするとき，$l$と$x$軸および$y$軸で囲まれた三角形の面積は$0<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲では最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ク}}}$をとる．

(4)　曲線$C\text{，}\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のときの線分$\mathrm{OP}$および線分$\mathrm{OA}$で囲まれた図形を$y$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\pi$である．

【２】　半径$1$の球面$A$の内側にあり，すべての頂点が球面$A$上にある立方体$B$の$1$辺の長さは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}$となる．球面$A$の内側で，立方体$B$の外側にある最大な球$C$の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}-\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}}{\boxed{\text{タ}}}}$となる．球面$A$の内側で，立方体$B$と球$C$の外側にあり，球$C$に接している最大な球の半径は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$となる．

【３】　実数$a$に対し，$z$に関する方程式

$z^2-az+a^2-3a=0$(＊)

を考える．

(1)　方程式(＊)が$2$つの異なる正の実数解を持つための条件は，$\boxed{\text{テ}}<a<\boxed{\text{ト}}$である．

　以後$a>\boxed{\text{ト}}$の範囲で考える．このとき方程式(＊)は$2$つの虚数解を持ち，$z_1$を虚部が正の解とする．

(2)　$z_1=x+iy$（$x\text{，}y$は実数，$i$は虚数単位）とすると，$x\text{，}y$は

$\boxed{\text{ナ}}{(x+\boxed{\text{ニ}})}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}{y}^2=1$

を満たす．

(3)　$z_1$の偏角を${\theta }_1\text{（}0<{\theta }_1<\pi \text{）}$とおくと

$\underset{a\to \infty }{\lim }\tan {\theta }_1={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$

が成り立つ．

(4)　${z_1}^4$が実軸上に存在するとき，$a=\boxed{\text{ヒ}}$である．

【４】　$n$を$1$以上の整数とし，$1$以上$n$以下の整数から重複を許して無作為に選んだ$4$つの値を$x_1\text{，}{y}_1\text{，}{x}_2\text{，}{y}_2$とする．座標平面上の$2$点$\mathrm{P}(x_1,y_1)\text{，}\mathrm{Q}(x_2,y_2)$を考える．

(1)　$|x_1-x_2|$の期待値$a_n$は

$a_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}(n+\boxed{\text{ホ}}{n}^k)\text{，}k=\boxed{\text{マ}}$

である．

(2)　${(x_1-x_2)}^2$の期待値$b_n$は

$b_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}}{\boxed{\text{ム}}}}(n^l-1)\text{，}l=\boxed{\text{メ}}$

である．

(3)　線分$\mathrm{PQ}$を対角線とし，一辺が$x$軸に平行な長方形の面積の期待値を$R_n\text{，}$線分$\mathrm{PQ}$を直径とする円の面積の期待値を$S_n$とすれば，

${\displaystyle \frac{S_n}{R_n}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{モ}}}{\boxed{\text{ヤ}}}}{\displaystyle \frac{b_n}{{a_n}^2}}\pi$

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{R_n}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ユ}}}{\boxed{\text{ヨ}}}}\pi$

である．