2002　東京理科大学　理工学部情報科,工業化,機械工,土木工学科MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ハ}}$までに当てはまる数字$0$〜$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　$a$と$k$を定数とする連立方程式

$\{\begin{array}{l}9x-2y=kx\\ ax+4y=ky\end{array}$

が，$x=y$（ただし$x\text{，}y$は$0$でない）であるような解をもつのは，$k=\boxed{\text{ア}}\text{，}a=\boxed{\text{イ}}$のときである．$a=\boxed{\text{イ}}$とするとき，$x\ne y$であるような解をもつのは，$k=\boxed{\text{ウ}}$のときである．このとき，$x+y=1$を満たす解は

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{エ}}}}\left(\begin{array}{c}\boxed{\text{オ}}\\ \boxed{\text{カ}}\end{array}\right)$

である．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ハ}}$までに当てはまる数字$0$〜$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　${({\displaystyle \frac{x^4}{20}}-{\displaystyle \frac{c}{x^3}})}^4$の展開式における$x^2$の係数が$6$となるとき，正の定数$c$の値は$\boxed{\text{キ}\text{ク}}$である．このとき，$x^9$の係数は$-{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ケ}\text{コ}\text{サ}}}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ハ}}$までに当てはまる数字$0$〜$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(3)　$a={\displaystyle \sum _{r=0}^{60}}{}_{60}C_r\text{，}b={\displaystyle \sum _{r=0}^{60}}r\times {}_{60}C_r\text{，}$とする．ここに，${}_{n}C_r={\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}}$である．$a$の値は$2$の$\boxed{\text{シ}\text{ス}}$乗である．また，$r\times {}_{60}C_r=\boxed{\text{セ}\text{ソ}}\times {}_{59}C_{r-1}$（ただし$r=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}60$）が成り立ち，$b$の値は$a$の値の$\boxed{\text{タ}\text{チ}}$倍である．さらに，$k={\displaystyle \sum _{r=0}^{60}}{\displaystyle \frac{1}{r+1}}\times {}_{60}C_r$とすると，$k={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ツ}\text{テ}}}}(\boxed{\text{ト}}a-\boxed{\text{ナ}})$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ハ}}$までに当てはまる数字$0$〜$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(4)　ある定数$a\text{，}b\text{，}c$に対して

$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{4a{\cos }^{2}x+4(1-6a)\cos x-16a+b}{{\sin }^{4}x}}=c$

が成り立つ．このとき，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}\text{，}b=\boxed{\text{ネ}}\text{，}c={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$である．

【２】　$a>1$である定数に対して，$xy$平面の点$(x,y)$が媒介変数$\theta$により

$\{\begin{array}{l}x=2\cos \theta +\sin \theta \\ y=\cos \theta +a\sin \theta \end{array}$

と表されている．$\theta$が$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，点$(x,y)$の描く曲線を$C$とする．

(1)　$x$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$y$のとりうる値の範囲を求めよ．

　また，定数$k$に対して，$x+y=k$で表される直線を$l$とする．

(3)　曲線$C$と直線$l$が共有点をもつような$k$の範囲を求めよ．

(4)　$a=5$のとき，曲線$C$と直線$l$が共有点を$2$つもつような$k$の範囲を求めよ．

【３】　$0$と異なる複素数$z=x+yi$（$x\text{，}y$は実数で$i$は虚数単位）に対して複素数$w$を

$w={\displaystyle \frac{1}{z}}$

とおく．

(1)　$w=u+vi$（$u\text{，}v$は実数）とおくとき，$x$と$y$をそれぞれ$u$と$v$を用いて表せ．

(2)　$z=x+yi$が$2x-2y=1$の関係を満たしながら動くとき，複素数$w$全体と原点$\mathrm{O}$からなる図形を$C$とする．$C$はどのような図形か．

(3)　複素数$\alpha$に対して複素数$\beta$を

$\beta ={\displaystyle \frac{2\alpha -(1+2i)}{\alpha -(2+i)}}$（ただし$\alpha \ne 2+i$）

とする．$\alpha$を$\beta$を用いて表せ．

(4)　複素数平面上の点$\alpha$が図形$C$上を動くとき，点$\beta$はどのような図形を描くか．