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2002-13442-0301
2002 東京理科大学 理工学部
物理,応用生物科,経営工学科
(1)〜(4)合わせて配点40点
易□ 並□ 難□
【1】 次の文章中の ア から ワ までに当てはまる数字 0 〜 9 を求めて,解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい.
(1) 放物線 y= x2- 2⁢x+ 3 を, x 軸方向へ 3 , y 軸方向へ -3 だけ平行移動した放物線の方程式は y =x2 - ア ⁢x + イ ウ となる.この 2 つの放物線に共通の接線を考えると,接点の座標は ( エ オ , カ キ ) と ( ク ケ , - コ サ ) であり,接線の方程式は y =- シ ⁢ x+ ス セ ソ である.
2002-13442-0302
(2) A ,B , C の 3 人でじゃんけんをする.負けた人は抜けて,最後に 1 人が残るまでじゃんけんをする.この残った 1 人を優勝とする.
(a) じゃんけんを 1 回行った時点で A が優勝する確率は タ チ であり,あいこになる確率は ツ テ であり, A と B または A と C の 2 人が勝ち残る確率は ト ナ である.
(b) じゃんけんを 2 回行った時点で A が優勝する確率は ニ ヌ である.
(c) じゃんけんを 3 回行った時点で A が優勝する確率は ネ ノ ハ である.
2002-13442-0303
(3) 空間ベクトル a →=( 4,4, 2) ,b→ =(1, 2,3) に対して,これらを位置ベクトルとしてもつ点をそれぞれ A (a→ ), B( b→ ) とする. a→ の大きさは
| a→ |= ヒ
で, a→ と b → の内積は
a→ ⋅b→ = フ ヘ
であり, a→ と同じ向きの単位ベクトルを e → とすると,
e→ =1 ホ ( マ , ミ ,1 )
である.また点 B から線分 OA に下ろした垂線を BH とすると,点 H の位置ベクトル h → は
h→ =( ム , メ , モ )
となる. f→ が e → に直交する単位ベクトルで,ある正の定数 p , q に対して b→= p⁢e →+q ⁢f→ を満たすならば
f→ = 1 ヤ ⁢ (- ユ , ヨ , ラ )
である.
2002-13442-0304
(4)
6 x⁢( x+2) (2⁢ x+1) = リ x+ ル x +2- レ 2⁢x+1
であり,
limt→ ∞⁡ ∫ 1t⁡ 6x⁢ (x+ 2)⁢ (2⁢ x+1) ⁢ dx= ロ ⁢ log⁡3- ワ ⁢ log⁡2
である.ただし,対数は自然対数である.
2002-13442-0305
30点
【2】 n を 5 以上の自然数とする.集合 X ={1 ,2,⋯ ,n} の部分集合 A , B で,次の条件
任意の x∈ X に対して, x∈A または x∉ B
を満たしているものを考える.ここで x∈ X は x が X の要素であることを表し, x∉B は x が B の要素でないことを表している. A の要素の個数を a とし, B の要素の個数を b とする.ただし空集合の要素の個数は 0 である.
(1) A= {1, 2,3, 4} であるとき, b=2 であるような B をすべて求めよ.
(2) b≦a であることを証明せよ.
(3) A={ 1,2, 3,4, 5} であるとき B は全部で何通りあるか.
(4) 0≦k≦ n である整数 k に対して, a=k となる A , B の組は全部で何通りあるか.
(5) A ,B の組は全部で何通りあるか.
2002-13442-0306
【3】 関数 f⁡ (x) =x4 +a⁢x 3+b⁢ x2+ c⁢x+ 4 は x= 1 ,x=2 , x=6 で極値をもつ.ここに a , b ,c は定数である.
(1) 定数 a , b ,c を求めよ.
(2) 定数 m , n に対して, g⁡( x)= f⁡( x)- (m⁢ x+n ) とおく.方程式 g⁡ (x) =0 が異なる 2 つの重解 x =α と x =β ( α<β ) をもつとき, m と n の値を求めよ.
(3) (2)で求めた m , n に対し,直線 y= m⁢x+ n と曲線 y= f⁡( x) で囲まれた図形の面積 S を求めよ.