2002　東京理科大学　理工学部数，建築，電気電子情報学科MathJax

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& -4\end{array}\right)\text{，}P=\left(\begin{array}{cc}1& k\\ j& 2\end{array}\right)$

とおく．行列$P$が逆行列をもつとき，$jk\ne \boxed{\text{ア}}$であり，さらに等式

$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}\alpha & 0\\ 0& \beta \end{array}\right)$

が成り立つとすると，

$j==\boxed{\text{イ}}\text{，}k=\boxed{\text{ウ}}\text{，}\alpha =-\boxed{\text{エ}}\text{，}\beta =\boxed{\text{オ}}$

または

$j={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}\text{，}k=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\text{，}\alpha =\boxed{\text{コ}}\text{，}\beta =\boxed{\text{サ}}$

となる．

　$n^5$を$n-2$で割った余りが$4$になるような自然数$n$は小さい順に$\boxed{\text{セ}}\text{，}\boxed{\text{ソ}\text{タ}}\text{，}\boxed{\text{チ}\text{ツ}}$である．

$b-k=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}a}}$

となる．

　$a$と$k$の値を求めると

$a=\boxed{\text{ヌ}}\text{，}k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$

または

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}\text{，}k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}\text{マ}}}}$

となる．

$3f(x+y)=f(x)f(y)$

を満たすとする．また$f(1)=6$であるとする．

(1)　$f(0)$の値を求めよ．

(2)　自然数$n$に対して$f\left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)$の値を$n$を用いて表せ．

(3)　自然数$n$に対して

$a_n=n(f(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})-f(1))$

とおく．$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$の値を求めよ．

(4)　自然数$n$に対して

$b_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{n}}f\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)$

とおく．$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$の値を求めよ．

(1)　$2$つの円の接点を$\mathrm{R}$とするとき，線分$\mathrm{OR}$が$x$軸となす角を$\theta$とする．点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$の$x$座標の最大値，および$y$座標の最大値を求めよ．

(3)　曲線$C$の長さを求めよ．