2002　東京理科大学　薬学部MathJax

【１】

$a(\theta )=\sin \theta +\cos \theta -{\displaystyle \frac{5}{12}}\sin \theta \cos \theta$

$b(\theta )=1+2\sin \theta \cos \theta -{\displaystyle \frac{5}{6}}{\sin }^2\theta \cos \theta -{\displaystyle \frac{5}{6}}\sin \theta {\cos }^2\theta$

とおくと，すべての角$\theta$に対し

${(a(\theta ))}^2-b(\theta )={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}\text{エ}\text{オ}}}}{(\sin \theta )}^{\boxed{\text{カ}}}{(\cos \theta )}^{\boxed{\text{キ}}}$

が成り立つ．次に

$\alpha (\theta )=a(\theta )+\sqrt{{(a(\theta ))}^2-b(\theta )}$

$\beta (\theta )=a(\theta )-\sqrt{{(a(\theta ))}^2-b(\theta )}$

とおく．$\theta$が$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 90\mathrm{°}$の範囲を動くとき，$\alpha (\theta )$がとる値の範囲は

$\boxed{\text{ク}}\leqq \alpha (\theta )\leqq \sqrt{\boxed{\text{ケ}}}$

である．また，$\theta$が$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 90\mathrm{°}$の範囲を動くとき，$\beta (\theta )$がとる値の範囲は

$\sqrt{\boxed{\text{コ}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}\text{ス}}}}\leqq \beta (\theta )\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}\text{チ}}}}$

である．

【２】　実力のまったく同じ女性$2$人と，実力のまったく同じ男性$2$人の計$4$人でテニスのトーナメント戦（勝ち抜き戦）を行うことになった．$1$回戦は公平にくじを引いて決めることとし，対戦で引き分けはないものとする．また，女性と男性の対戦ではどの対戦でも確率$x$で女性が勝つものとし，女性が優勝する確率を$f(x)$とする．

　$1$回戦で女性と女性が対戦する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

　これに留意して，

$f(x)=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}{x}^3+\boxed{\text{オ}}{x}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}x$

を得る．そして，$0\leqq x\leqq 1$において$f(x)-x$が最大値をとるのは

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}+\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}}{\boxed{\text{コ}}}}$

のときである．

【３】　点$(x,y)$が，不等式

${(x-3)}^2+{(y-2)}^2\leqq 1$

の表す領域上の点を動くとする．このとき，

(1)　$2x-1$の最大値は$\boxed{\text{ア}}$である．

(2)　$x^2+y^2$の最大値は$\boxed{\text{イ}\text{ウ}}+2\sqrt{\boxed{\text{エ}\text{オ}}}$である．

(3)　${\displaystyle \frac{y}{x}}$の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}+\sqrt{\boxed{\text{キ}}}}{4}}$である．

(4)　$10x+10y$の最大の整数値は$\boxed{\text{ク}\text{ケ}}$である．

【４】　あるゲームを$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$で対戦するとき，$\mathrm{A}$が勝つ確率は${\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}\mathrm{B}$が勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{3}}$とする．いま，このゲームを$50$回行うものとする．$50$回中，$\mathrm{B}$がちょうど$1$回だけ勝つ確率を$p$とし，${\log }_{10}p$を小数第$4$位で四捨五入すると

$-\boxed{\text{ア}}.\boxed{\text{イ}\text{ウ}\text{エ}}$

を得る．よって$p$は，小数第$\boxed{\text{オ}}$位に初めて$0$でない数が現れる．ただし，

${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$

とする．

　次に$50$回中，$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$より先に$2$回続けて勝つ確率を$a\text{，}\mathrm{B}$が$\mathrm{A}$より先に$2$回続けて勝つ確率を$b$とすると，

$a={\displaystyle \frac{4}{9}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}}c$

$b={\displaystyle \frac{1}{9}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}\text{シ}}}}c$

となる．ただし，

$c=1+{\displaystyle \frac{2}{9}}+{\left({\displaystyle \frac{2}{9}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{2}{9}}\right)}^3+\cdots +{\left({\displaystyle \frac{2}{9}}\right)}^{23}$

とする．

　なお言葉の説明であるが，たとえば$1$回目$\mathrm{A}$の勝ち，$2$回目$\mathrm{B}$の勝ち，$3$回目$\mathrm{A}$の勝ち，$4$回目$\mathrm{A}$勝ち，$\cdots$ならば，$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$より先に$2$回続けて勝つことになる．また，$1$回目$\mathrm{A}$の勝ち，$2$回目$\mathrm{B}$の勝ち，$3$回目$\mathrm{A}$の勝ち，$4$回目$\mathrm{B}$の勝ち，$5$回目$\mathrm{A}$の勝ち，$6$回目$\mathrm{B}$の勝ち，$7$回目$\mathrm{B}$の勝ち，$\cdots$ならば，$\mathrm{B}$が$\mathrm{A}$より先に$2$回続けて勝つことになる．