2002　東京理科大学　工学部(建築，電気工学科)MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(1)　$(m-3)x^2+(5-m)x+2(2m-7)=0$を，異なる$2$つの実数解をもつ$x$についての$2$次方程式とする．その解の一方が$2$より大きく他方が$2$より小さいのは，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}<m<\boxed{\text{ウ}}$

のときであり，両方がともに$2$より大きいのは，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}<m<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$

のときである．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(2)　私，兄，姉，父，母，祖父，祖母の$7$人が円形のテーブルのまわりに座る．祖父の席を固定してその番号を$1$とし，残りの席に時計回りに$2$番から$7$番までの番号をふったときの座り方について考える．

(a)　座る位置に制約がないとき，座り方は全部で$\boxed{\text{ア}\text{イ}\text{ウ}}$通りある．

(b)　母が$5$番の席に座るとき，座り方は全部で$\boxed{\text{エ}\text{オ}\text{カ}}$通りある．

(c)　母が$5$番の席に座り，祖父，祖母ともに隣にその孫が$1$人以上座るとき，座り方は全部で$\boxed{\text{キ}\text{ク}}$通りある．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(3)　$xy$平面上に$3$つの頂点$\mathrm{A}(-3,0)\text{，}\mathrm{B}(2\sqrt{5},0)\text{，}\mathrm{C}(0,4)$を持つ三角形$\mathrm{ABC}$がある．

(a)　辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$をとり，四角形$\mathrm{ADEC}$がひし形となるようにするとき，点$\mathrm{E}$の座標は$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})$である．

(b)　$\angle \mathrm{CAD}$の$2$等分線上の点が満たす方程式は

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}(x+3)$

である．

(c)　$\angle \mathrm{ACB}$の$2$等分線上の点が満たす方程式は

$y=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}+\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}}{\boxed{\text{ク}}}}x+4$

である．

(d)　三角形$\mathrm{ABC}$の内心は

$(-\boxed{\text{ケ}}+\sqrt{\boxed{\text{コ}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}+\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{ス}}}})$

である．

【２】

(1)　次の関数を$x$について微分しなさい．

(a)　$y={\left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)}^x+{\left({\displaystyle \frac{b}{x}}\right)}^a+{\left({\displaystyle \frac{x}{a}}\right)}^b\text{（}a>0\text{，}b>0\text{）}$

(b)　$y={\displaystyle \frac{\cos x}{\sqrt{x}}}$

【２】

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{2+3e^x+e^{2x}}}dx$を求めなさい．

【２】

(3)　$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 1& 0\end{array}\right)$のとき，$A$の逆行列${\mathrm{A}}^{-1}$および$A^{-1}B$を求めなさい．

【３】　実数$t$に対する$xy$平面上の直線$2tx-2(2+t)y-{(1+t)}^2=0$を$L(t)$とする．

(1)　直線$y=x$上で$x>0$の点を通る直線$L(t)$は存在しないことを示しなさい．

(2)　直線$L(0)$だけが通り，他の直線$L(t)\text{（}t\ne 0\text{）}$が通らない点$(x,y)$をすべて求めなさい．

(3)　$t$を自由に動かすとき，直線$L(t)$が通る点$(x,y)$の全体を$D$とする．領域$D$を示す不等式を書き，その概形を図示しなさい．