2002　東京理科大学　工学部(工業化，経営工，機械工学科)MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字の$1$つがあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(1)　自然数$k$に対して，$x$の$2$次関数$y=k(k+2)x^2-2(k+1)x+1$のグラフが$x$軸から切り取る線分の長さを$a_k$とする．数列$\{a_k\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とすると，$S_{17}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}\text{イ}\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}\text{オ}\text{カ}}}}$であり，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字の$1$つがあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(2)　千円札を$5$枚，二千円札を$5$枚，五千円札を$5$枚，一万円札を$2$枚，合計$6$万円をもっている人が，おつりの出ない買い物をした．

(a)　買い物の金額がちょうど$1$万円のとき，紙幣の組み合わせ方は全部で$\boxed{\text{ア}\text{イ}}$通りある．

(b)　買い物の金額がちょうど$2$万円のとき，支払った紙幣の枚数が$8$枚以下である組み合わせ方は全部で$\boxed{\text{ウ}\text{エ}}$通りある．

(c)　買い物をした後で，手元に残った紙幣の枚数が$10$枚，その合計金額が$1$万$6$千円以下であったとき，支払った金額の最小値は$\boxed{\text{オ}}$万$\boxed{\text{カ}}$千円で，最大値は$\boxed{\text{キ}}$万$\boxed{\text{ク}}$千円である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字の$1$つがあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(3)　点$(x,y)$を${(x-3)}^2+{(y-2)}^2\leqq 1$の範囲で動かすとき，${\displaystyle \frac{y}{x}}$の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}+\sqrt{\boxed{\text{イ}}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$であり，最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}-\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．また，${\displaystyle \frac{x}{y}}+{\displaystyle \frac{y}{x}}$の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}\text{ク}}+\boxed{\text{ケ}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}}{\boxed{\text{サ}\text{シ}}}}$であり，最小値は$\boxed{\text{ス}}$である．

【２】(1)　次の関数を$x$について微分しなさい．

(a)　$y={(x+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^3$

(b)　$y=3^{\log x}$

【２】(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{12}}}\cos x\cos (2x)\cos (3x)dx$を求めなさい．

【２】(3)　$\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 3& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 3& 5\end{array}\right)$のとき，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を求めなさい．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする複素数平面上に点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$をとり，それらを表す複素数をそれぞれ$z_{\mathrm{A}}=1+\sqrt{3}i\text{，}{z}_{\mathrm{B}}=-2+2\sqrt{3}i$とする．ただし，$i=\sqrt{-1}$である．

(1)　${\left({\displaystyle \frac{z_{\mathrm{B}}}{z_{\mathrm{A}}}}\right)}^5$を求めなさい．

(2)　点$\mathrm{P}$が$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る円上にあるとき，点$\mathrm{P}$を表す複素数$z$が満たす方程式を求めなさい．

(3)　$2$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}$を通る直線に関して，(2)で求めた円と対称な円を考える．点$\mathrm{Q}$がこの円上にあるとき，点$\mathrm{Q}$を表す複素数$w$が満たす方程式を求めなさい．