2002　東京理科大学　理学部B方式2月12日実施MathJax

【１】　次の(1)から(4)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．

(1)　座標平面の原点から出発し，$x$軸または$y$軸に平行に$1$あるいは$-1$ずつ進んでいく．

(a)　原点を出発して，最短距離で$(3,4)$に行くとき，経路は$\boxed{\text{ア}\text{イ}}$通りある．

(b)　最短経路より$2$だけ長い経路で$(3,4)$に行くとき，経路は$\boxed{\text{ウ}\text{エ}\text{オ}\text{カ}}$通りある．ただし，同じ点（原点を含む）を$2$度通ってもよいし，一度$(3,4)$に進んだら，別の点に行き再びもどるのもよいとする．

(c)　(b)で同じ点を$2$度通ってはいけないとすると，$(3,4)$に到る経路は$\boxed{\text{キ}\text{ク}\text{ケ}}$通りある．ただし，一度$(3,4)$に進んでから別の点に行き，再び$(3,4)$にもどるのもいけない．

【１】　次の(1)から(4)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．

(2)　空間のベクトル$\overrightarrow{a}=(1,2,1)\text{，}\overrightarrow{b}=(1,-1,2)\text{，}\overrightarrow{c}=(0,-1,3)$がある．$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}$が直交するときの$t$の値は

${\displaystyle \frac{-\boxed{\text{コ}}\pm \sqrt{\boxed{\text{サ}\text{シ}}}}{\boxed{\text{ス}\text{セ}}}}$

である．

【１】　次の(1)から(4)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．

(3)　関数$e^{-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}}$の$x>0$における変曲点の$x$座標は

${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}}{\boxed{\text{タ}}}}$

である．

【１】　次の(1)から(4)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．

(4)　一辺の長さが$1$の正三角形を底面とする高さが$2$の正三角柱を考える．この正三角柱を底面の一辺を軸として一回転させる．このときできる回転体の体積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}\pi$

である．

【２】　実数の数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$には

$a_{n+1}+b_{n+1}i={\displaystyle \frac{i}{2}}(a_n+b_{n}i)+1\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

の関係がある．$a_0=1\text{，}{b}_0=2$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

(1)　$a_{2n}$を$n$で表せ．

(2)　$a_{2n+1}$を$n$で表せ．

(3)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．

【３】　座標平面において，一辺の長さが$4$の正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．はじめに，各頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$がそれぞれ点$(-2,0)\text{，}(2,0)\text{，}(2,4)\text{，}(-2,4)$上にあるとする．この正方形を点$(-2,0)$と原点$\mathrm{O}$の両方に接触させながら頂点$\mathrm{A}$がはじめて原点$\mathrm{O}$に到達するまで反時計まわりに回転させる（図１）．このとき次の問いに答えよ．

(1)　頂点$\mathrm{A}$の座標を$(x,y)$とするとき，$y$を$x$の式で表せ．

(2)　線分$\mathrm{OB}$と$x$軸とのなす角を$\theta$とするとき，$\mathrm{OA}$の長さを$\theta$で表せ．

(3)　(2)のとき，頂点$\mathrm{B}$の座標を$\theta$で表せ．

(4)　頂点$\mathrm{A}$が$(-2,0)$から原点まで動くとき，頂点$\mathrm{B}$の$x$座標がとる値の範囲を求めよ．

(5)　頂点$\mathrm{A}$が$(-2,0)$から原点$\mathrm{O}$まで動くとき，頂点$\mathrm{B}$の軌跡，$x$軸及び$y$軸によって囲まれる部分の面積を求めよ．