2002　東京理科大学　理学部数学科MathJax

【１】　放物線$y=x^2$の上の点$\mathrm{P}$における接線を$l\text{，}$点$\mathrm{P}$を通り$l$に直交する直線を$m$とし，$l\text{，}m$が直線$y=-1$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．$\mathrm{P}$が放物線上の原点以外の点を動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積がいつ最小になるかを考える．

　$\mathrm{P}(a,a^2)$とするとき，$l$の方程式は$y=\boxed{\text{ア}}ax-\boxed{\text{イ}}{a}^2\text{，}m$の方程式は$y=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}a}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}+a^2$である．

　放物線$y=x^2$は，$y$軸に関して対称であるから，$a>0$の場合のみを考えればよい．（以下$a>0$とする）

　三角形の面積を$f(a)$とすると，

$f(a)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}a}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}a+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}{a}^3+\boxed{\text{ス}}{a}^5$

となる．このことから三角形$\mathrm{PQR}$の面積が最小になるときの点$\mathrm{P}$の$y$座標は

${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{セ}\text{ソ}\text{タ}}}-\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}\text{テ}}}}$

であることがわかる．

【２】　$\mathrm{A}$君が$0$から$4$までの整数からなる$4$つの数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を持っている．これを$\mathrm{B}$君に暗号化して送り，$\mathrm{B}$君が解読する．そのために，$0$以上の整数を成分としてもつ行列$\left(\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array}\right)$と$\left(\begin{array}{cc}i& j\\ k& l\end{array}\right)$を使って次のような方法をとる．$\mathrm{A}$君は$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array}\right)$を計算した結果を$\mathrm{B}$君に送り，$\mathrm{B}$君は$\mathrm{A}$君から受けとった行列に右から$\left(\begin{array}{cc}i& j\\ k& l\end{array}\right)$をかけ，$\left(\begin{array}{cc}{a}^{\prime }& b^{\prime }\\ c^{\prime }& d^{\prime }\end{array}\right)$を得る．さらに$\left(\begin{array}{cc}{a}^{\prime }& b^{\prime }\\ c^{\prime }& d^{\prime }\end{array}\right)$の各成分を$5$で割った余りを成分とする行列$\left(\begin{array}{cc}{a}^{″}& b^{″}\\ c^{″}& d^{″}\end{array}\right)$を得る．

(1)　$\left(\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{cc}i& j\\ k& l\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 4& 2\end{array}\right)$のとき，$\left(\begin{array}{cc}{a}^{″}& b^{″}\\ c^{″}& d^{″}\end{array}\right)$を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$で表せ．

(2)　$\left(\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$のとき，どのような$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$に対しても，$\left(\begin{array}{cc}{a}^{″}& b^{″}\\ c^{″}& d^{″}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$となるような$\left(\begin{array}{cc}i& j\\ k& l\end{array}\right)$を$0\leqq i\text{，}j\text{，}k\text{，}l\leqq 4$の範囲で求めよ．

【３】(1)　背理法とは何かを$20$字以上$100$字以内で説明せよ．

(2)　$\sqrt[3]{2}$が無理数であることを背理法を用いて証明せよ．