2002　東京理科大学　理学部B方式2月13日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{テ}}$に当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークせよ．

(1)　方程式$(x+2)(x+3)(x-4)(x-5)=44$を解くと，

解　$x=\boxed{\text{ア}}\pm \sqrt{\boxed{\text{イ}}}\text{，}\boxed{\text{ウ}}\pm \boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}$

が得られる．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{テ}}$に当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークせよ．

(2)　範囲$0\leqq x\leqq \pi$では方程式$\sin x+\sin 2\theta +\sin 3\theta +\sin 4\theta =0$の解は小さい順に$0\text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}\pi \text{，}{\displaystyle \frac{1}{2}}\pi \text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\pi \text{，}\pi$の$5$個である．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{テ}}$に当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークせよ．

(3)　$xy$平面の点$\mathrm{A}(0,-4)$に置かれた光源から放射された光線が，曲線$y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$の$2\leqq x\leqq 4$をみたす部分だけをまんべんなく照らして反射する．

(a)　曲線$y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$上の点$(4,4)$における接線の方程式は，

$Y=\boxed{\text{コ}}X-\boxed{\text{サ}}$

である．

(b)　光源$\mathrm{A}$から出て，曲線上の点$(2,1)$で反射した光線の方程式は，

$Y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}X+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$

である．

(c)　反射前の光線と反射後の光線の両方が通過する領域$D$の面積は，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}\text{テ}}}}$

である．

【２】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ウ}}$に当てはまる数を解答群より選び，その番号を解答用マークシートの指定された欄にマークせよ．ただし，同じ番号を$2$回以上使うこともできる．

　直線$y=x$が曲線$y=a^x$の接線となるとき，$a=\boxed{\text{ア}}$で，接点の座標は

$(\boxed{\text{イ}},\boxed{\text{ウ}})$

である．

解答群

【３】　$a_1=a_2=1\text{，}{a}_{n+2}=a_{n+1}+a_n\text{（}n\geqq 1\text{）}$なる数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots$を考える．次の設問に答えよ．

(1)　$(\begin{array}{cc}{a}_{n+1}& a_n\end{array})\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=(\begin{array}{cc}{a}_{n+2}& a_{n+1}\end{array})\text{（}n\geqq 1\text{）}$を示せ．

(2)　$\alpha ={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$と$\beta ={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}$は方程式$x^2+ax+b=0$の解であるとする．係数$a\text{，}b$を求めよ．

(3)　(2)で定めた$\alpha \text{，}\beta$につき，関係式$P\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\alpha & 0\\ 0& \beta \end{array}\right)$をみたす$2\times 2$行列$P$を求めよ．

(4)　(2)で定めた$\alpha \text{，}\beta$につき，等式

$(\begin{array}{cc}{a}_{n+1}& a_n\end{array})\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ 1& 1\end{array}\right)=(\begin{array}{cc}{\alpha }^{n+1}& {\beta }^{n+1}\end{array})\text{（}n\geqq 1\text{）}$

を数学的帰納法により示せ．

【４】　次の設問に答えよ．ただし，$a$は正の定数とする．

(1)　関数$f(\theta )={\displaystyle \frac{\sin \theta \cos \theta }{\cos \theta +a^3\sin \theta }}$の導関数を求めよ．

(2)　範囲$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の全ての$\theta$で不等式

$k(\cos \theta +a^3\sin \theta )\geqq \sin \theta \cos \theta$

が成り立つという．そのようは数$k$の最小値を求めよ．