2002　早稲田大学　理工学部MathJax

【１】　$\mathrm{A}(a,0)$を定点とし，$C$を双曲線$x^2-y^2=4$の$x>0$の部分とする．$\mathrm{A}$を通る傾き$m$（ただし$m>0$）の直線が，異なる$2$点$2$で$C$と交わるように$m$の範囲を求めよ．

【２】　$f_0(x)=e^x$とし，$n=1\text{，}2\text{，}\cdots$に対し$f_n(x)$を

$f_n(x)=x{f_{n-1}}^{\prime }(x)$

により定め，

$P_n(x)=e^{-x}{f}_n(x)$

とおく．次の問に答えよ．

(ⅰ)　$P_n(x)$は$n$次多項式であることを証明せよ．

(ⅱ)　$P_n(x)$における$x^n$の係数を$a_n\text{，}{x}^{n-1}$の係数を$b_n$とおく．$a_n\text{，}{b}_n$を求めよ．

【３】(ⅰ)　$2\times 2$行列$A$は条件

$A(E-A)=O\cdots \text{(＊)}$

を満たすものとする．ただし$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$とする．実数$s\text{，}t$に対して$X=sA+t(E-A)$とおくとき

$X^2-(s+t)X$

を求めよ．

(ⅱ)　$Y=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 0\end{array}\right)$に対して

$Y=sA+t(E-A)$

となるように実数$s\text{，}t\text{（}s>t\text{）}$と条件(＊)を満たす行列$A$を求めよ．

(ⅲ)　(ⅱ)の行列$A\text{，}Y$と自然数$n$に対して

$Y^n=p_{n}A+q_n(E-A)$

を満たす$p_n\text{，}{q}_n$を求めよ．

【４】(ⅰ)　$a\text{，}b$を実数とする．$a<b\text{，}a=b\text{，}a>b$のそれぞれの場合に極限

$\underset{x\to \infty }{\lim }{\log }_x(x^a+x^b)$

を求めよ．

(ⅱ)　$a\text{，}b$は$a^2+b^2\leqq 1$を満たす実数とする．

$L=\underset{x\to \infty }{\lim }{\log }_x(2x^a+x^{\frac{b}{2}})$

を最小にする$a\text{，}b$およびそのときの$L$の値を求めよ．

【５】　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす$\theta$に対して

$I(\theta )={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}|\sin x-\tan \theta \cos x|\sin 2xdx$

とおく．次の問に答えよ．

(ⅰ)　$I(\theta )$を求めよ．

(ⅱ)　$I(\theta )$を最小にする$\theta$に対し$\cos \theta$の値を求めよ．