2002　早稲田大学　教育学部MathJax

2002-13591-0301

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易□　並□　難□

【１】　次のにあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)　 $i$ を虚数単位として， $a$ と $b$ を正の定数とする．複素数 $z$ が

$| i z + a | ≦ b$

を満たすとき， $| z - 2 a |$ の最大値は $イ$ である．

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【１】　次のにあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(2)　正の整数 $m ， n$ に対して，整数 $B (m, n)$ を以下のように定義する．

(ⅰ)　すべての $n ≧ 1$ に対して

$B (1, n) = n + 1 ，$

(ⅱ)　すべての $m ， n ≧ 1$ に対して

$B (m + 1, 1) = B (m, 2)$ ，

$B (m + 1, n + 1) = B (m, B (m + 1, n))$ ．

　このとき， $B (3, n) = ロ$ である．

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【１】　次のにあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(3)　正の定数 $a$ に対して，

$A = (\begin{matrix} a & - 1 \\ 1 & a + 2 \end{matrix})$

と定め，正の整数 $n$ に対して，

$A^{n} = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \\ c_{n} & d_{n} \end{matrix})$

とする．このとき， $c_{n} = ハ$ である．

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【１】　次のにあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(4)　平面上に一直線上にはない $3$ 点 $A ， B ， C$ がある．点 $P$ が

$a \vec{PA} + b \vec{PB} + c \vec{PC} = 0 ，$

$a > 0 ， b < 0 ， c < 0 ， a + b + c < 0$

を満たすならば，点 $P$ は図の番号 $ニ$ の範囲に存在する．

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【２】　正の実数 $t$ に対して， $x y$ 平面上の点 $P (t)$ の座標を $(t \cos t, 2 t \sin t)$ とする．

(1)　原点 $O$ と $2$ 点 $P (t) ， P (4 t)$ が一直線上にあるような $t$ の値をすべて求めよ．

(2)　 ${P (t) | 0 ≦ t ≦ π}$ と $x$ 軸によって囲まれる部分の面積 $S$ を求めよ．

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【３】(1)　 $p ， q$ を定数とする $2$ 次方程式

$x^{2} - p x - q = 0$

が $2$ つの実数解 $α ， β （ α > β ）$ をもつとする．さらに，ある定数 $r ， s$ に対して，

$a_{n} = r α^{n} + s β^{n} （ n ≧ 1 ）$

とする．このとき，数列 ${a_{n}}$ の一般項 $a_{n}$ を $p ， q ， a_{n - 1}$ および $a_{n - 2}$ を用いて表せ．

(2)　 $n$ 個の球を一度に $1$ 個あるいは $2$ 個ずつ取っていくとき，すべての球を取りつくす方法の総数を $b_{n}$ とする．このとき， $b_{1}$ と $b_{2}$ を求めよ．また， $3$ 以上の $n$ に対して， $b_{n}$ を $b_{n - 1}$ と $b_{n - 2}$ を用いて表せ．

(3)　(2)で定まる数列 ${b_{n}}$ の一般項 $b_{n}$ を求めよ．

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【４】　実数 $a ， b$ （ただし， $0 < a < 3$ ）に対して，

$f (x) = x^{3} - a x + b$

とする．このとき，区間 $- 1 ≦ x ≦ 1$ における $| f (x) |$ の最大値が $\frac{1}{4}$ となるような $a$ と $b$ の値を求めよ．

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