2003　大学入試センター試験　本試験　数学I／数学IAMathJax

【１】

［１］　$2$次関数

$y=\mathrm{-2}{x}^2+ax+b$

のグラフを$C$とする．$C$は頂点の座標が

${\displaystyle (\frac{a}{\boxed{\text{ア}}},\frac{a^2}{\boxed{\text{イ}}}+b)}$

の放物線である．$C$ が点$\left(3,\mathrm{-8}\right)$を通るとき，

$b=\boxed{\text{ウエ}}a+10$

が成り立つ．このときのグラフ$C$を考える．

(1)　$C$が$x$軸と接するとき，$a=\boxed{\text{オ}}$または$a=\boxed{\text{カキ}}$である．$a=\boxed{\text{カキ}}$のときの放物線は，$a=\boxed{\text{オ}}$のときの放物線を$x$軸方向に$\boxed{\text{ク}}$だけ平行移動したものである．

(3)　$C$の頂点の$y$座標の値が最小になるのは，$a=\boxed{\text{ケコ}}$のときで，このときの最小値は$\boxed{\text{サシ}}$である．

【１】

［２］　一辺の長さが$1$の立方体の$8$個の頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}$が図のような位置関係にあるとする．この$8$個の頂点から相異なる$3$点を選び，それらを頂点とする三角形をつくる．

(1)　三角形は全部で$\boxed{\text{スセ}}$個できる．また，互いに合同でない三角形は全部で$\boxed{\text{ソ}}$種類ある．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$と合同になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$であり，また，正三角形になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$である．

(3)　三角形の面積の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}+\boxed{\text{ナ}}\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\boxed{\text{ニヌ}}}}$である．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=2\sqrt{3}\text{，}$$\mathrm{CA}=4+\sqrt{3}$とする．このとき，

$\cos A={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$

である．$▵\mathrm{ABC}$の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウエ}}+\boxed{\text{オ}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}}{2}}$

であり，$▵\mathrm{ABC}$の外接円$O$ の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}\sqrt{\boxed{\text{ク}}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．

　$\mathrm{B}$を通り$\mathrm{CA}$に平行な直線と円$O$との交点のうち，$\mathrm{B}$と異なる方を$\mathrm{D}$とする．このとき，$\mathrm{CD}=\boxed{\text{コ}}\text{，}\mathrm{BD}=\boxed{\text{サ}}-\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$であり，台形$\mathrm{ADBC}$の面積は$\boxed{\text{スセ}}$である．

【３】(1)　白の碁石が$9$個ある．これを，組を区別せずに，どの組にも$4$個以下となるように$3$組に分ける方法は$\boxed{\text{ア}}$通りある．また，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$ 人に，一人当たり$4$個以下になるように分ける方法は$\boxed{\text{イウ}}$ 通りある．

(2)　$9$ 個の白の碁石を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$人に分ける．全員少なくとも$1$個はもらえるような分け方は$\boxed{\text{エオ}}$通りで，一つももらえない人がいてもよいとすると$\boxed{\text{カキ}}$通りになる．

(3)　赤球$4$個，青球$4$個，黄球$1$個と黒の碁石$2$個の合計$11$個を一列に並べる．球が続けて$5$個以上現れない並べ方は$\boxed{\text{イウ}}\times \boxed{\text{クケコ}}$通りある．

【２】

［１］

(1)　$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を実数とし，$x$についての整式$A\text{，}$$B$を

• $A=x^3+p{x}^2+qx+r$
• $B=x^2-3x+2$

とする．

(a)　$A$を$B$で割ったときの商が$x-1$であった．このとき，$p=\boxed{\text{アイ}}$である．

(b)　$A$を$B$で割ったときの余りが$x$ で割り切れた．このとき，

$r=\boxed{\text{ウ}}p+\boxed{\text{エ}}$

である．

(c)　$A$を$B$で割ったとき，その商と余りが等しくなった．このとき，

$q+r=\boxed{\text{オ}}$

である．

【２】

［１］

(2)　$a\text{，}$$b$を実数として，次の$\boxed{\text{カ}}$〜$\boxed{\text{ケ}}$に，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{G}}$のうちから当てはまるものを一つずつ選べ．

${(|a+b|+|a-b|)}^2=2(a^2+b^2+\boxed{\text{カ}})$

であるから，${(|a+b|+|a-b|)}^2=4a^2$が成り立つための必要十分条件は$\boxed{\text{キ}}$である．$\boxed{\text{キ}}$でないときは

${(|a+b|+|a-b|)}^2=\boxed{\text{ク}}$

となる．

　また，${\displaystyle \frac{1}{2}}(|a+b|+|a-b|)=b$が成り立つための必要十分条件は$\boxed{\text{ケ}}$である．

• $\overline{)\text{0}}{a}^2$
• $\overline{)\text{1}}{b}^2$
• $\overline{)\text{2}}4a^2$
• $\overline{)\text{3}}4b^2$
• $\overline{)\text{4}}ab$
• $\overline{)\text{5}}|ab|$
• $\overline{)\text{6}}2ab$
• $\overline{)\text{7}}2|ab|$
• $\overline{)\text{8}}{a}^2-b^2$
• $\overline{)\text{9}}{b}^2-a^2$
• $\overline{)\text{A}}|a^2-b^2|$
• $\overline{)\text{B}}{a}^2\leqq b^2$
• $\overline{)\text{C}}{a}^2\geqq b^2$
• $\overline{)\text{D}}a\leqq |b|$
• $\overline{)\text{E}}|a|\leqq b$
• $\overline{)\text{F}}a\geqq |b|$
• $\overline{)\text{G}}|a|\geqq b$

【２】

［２］　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=2\sqrt{3}\text{，}$$\mathrm{CA}=4+\sqrt{3}$とする．このとき，

$\cos A={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$

である．$▵\mathrm{ABC}$の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シス}}+\boxed{\text{セ}}\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}}{2}}$

である．

　$\mathrm{B}$を通り$\mathrm{CA}$に平行な直線と$▵\mathrm{ABC}$の外接円との交点のうち，$\mathrm{B}$と異なる方を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{BD}=\boxed{\text{タ}}-\sqrt{\boxed{\text{チ}}}$であり，台形$\mathrm{ADBC}$の面積は$\boxed{\text{ツテ}}$である．

【３】

(1)　等比数列$18\text{，}$$\mathrm{-6}\sqrt{3}\text{，}$$6\text{，}\cdots$の第$6$項は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}}$であり，初項から第$15$項までの奇数番目の項の和は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オカキク}}}{\boxed{\text{ケコサ}}}}$である．

【３】

(2)　数列

$1\text{，}2\text{，}2\text{，}3\text{，}3\text{，}3\text{，}4\text{，}4\text{，}4\text{，}4\text{，}5\text{，}5\text{，}5\text{，}5\text{，}5\text{，}6\text{，}\cdots$

の第$n$項を$a_n$とする．この数列を

$1|2\text{，}2|3\text{，}3\text{，}3|4\text{，}4\text{，}4\text{，}4|5\text{，}5\text{，}5\text{，}5\text{，}5|6\text{，}\cdots$

のように$1$個，$2$個，$3$個，$4$個，$\cdots$と区画に分ける．

　第$1$区画から第$20$区画までの区画に含まれる項の個数は$\boxed{\text{シスセ}}$であり，$a_{215}=\boxed{\text{ソタ}}$となる．また，第$1$区画から第$20$区画までの区画に含まれる項の総和は$\boxed{\text{チツテト}}$であり，

$a_1+a_2+a_3+\cdots a_n\geqq 3000$

となる最小の自然数$n$は$\boxed{\text{ナニヌ}}$である．

【４】　$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心を$\mathrm{I}$とし，内接円$I$と辺$\mathrm{BC}$の接点を$\mathrm{D}$とする．辺$\mathrm{BA}$の延長と点$\mathrm{E}$で，辺$\mathrm{BC}$の延長と点$\mathrm{F}$  で接し，辺$\mathrm{AC}$と接する$\angle B$内の円の中心（傍心）を$\mathrm{G}$とする．

　次の文章中の$\boxed{\text{アイ}}\text{，}$$\boxed{\text{ウエ}}\text{，}$$\boxed{\text{オカ}}$については，当てはまる文字を$\mathrm{A}\text{〜}$$\mathrm{G}$のうちから選べ．ただし，オとカは解答の順序を問わない．

(1)　$\mathrm{AD}=\mathrm{GF}$が成り立つことを示そう．

$2\angle \mathrm{EAG}=\angle \mathrm{E}\boxed{\text{アイ}}$$=\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{B}\boxed{\text{ウエ}}=2\angle \mathrm{ABC}$

であるから，$\angle \mathrm{EAG}=\angle \mathrm{ABC}$となる．したがって，直線$\boxed{\text{オカ}}$と直線$\mathrm{BF}$は平行である．さらに，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{I}\text{，}$$\mathrm{D}$は一直線上にあって，

$\angle \mathrm{ADC}=\angle \mathrm{GFD}=\boxed{\text{キク}}°$

であるから，四角形$\mathrm{ADFG}$ は$\boxed{\text{ケ}}$となる．よって，$\mathrm{AD}=\mathrm{GF}$である．ただし，$\boxed{\text{ケ}}$には，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから最もふさわしいものを選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　正方形
• $\overline{)\text{1}}$　台形
• $\overline{)\text{2}}$　長方形
• $\overline{)\text{3}}$　ひし形

(2)　$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{BD}=2$のとき，$\mathrm{IG}$の長さを求めよう．まず，$\mathrm{AD}=\sqrt{\boxed{\text{コサ}}}$であり，

$\mathrm{AI}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{コサ}}}}{\boxed{\text{ス}}}}$

となる．また，$\angle \mathrm{AGI}=\angle \mathrm{CBI}=\angle \mathrm{ABI}$であるから，$\mathrm{AG}=\boxed{\text{セ}}$となり，

$\mathrm{IG}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}\sqrt{\boxed{\text{タチ}}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$

である．

【５】　下のプログラムは，自然数$N$を入力して，$\boxed{\text{ア}}$を小さい順にa(1)= ，a(2)= ，$\cdots$と表示し，さらにそれらの和を S= と表示するものである．ただし，このプログラムにおいて，INT(A) は A を超えない最大の整数を表す．

　$\boxed{\text{ア}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

• $\overline{)\text{0}}$　$N\text{以下の正の奇数で}3$の倍数であるもの
• $\overline{)\text{1}}$　$N\text{以下の正の奇数で}3$の倍数でないもの
• $\overline{)\text{2}}$　$N\text{以下の正の偶数で}3$の倍数であるもの
• $\overline{)\text{3}}$　$N\text{以下の正の偶数で}3$の倍数でないもの

• 100 S=0
• 110 T=0
• 120 INPUT "N=";N
• 130 FOR K=1 TO N
• 140 IF INT(K/2)=K/2 THEN GOTO 190
• 150 IF INT(K/3)=K/3 THEN GOTO 190
• 160 T=T+1
• 170 S=$\boxed{\text{イ}}$
• 180 PRINT "a(";$\boxed{\text{ウ}}$;")=";$\boxed{\text{エ}}$
• 190 NEXT K
• 200 PRINT "S=";S
• 210 END

(1)　$\boxed{\text{イ}}$〜$\boxed{\text{エ}}$に当てはまるものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}\overline{)\text{5}}$のうちから一つずつ選び，プログラムを完成させよ．

• $\overline{)\text{0}}$ N
• $\overline{)\text{1}}$K
• $\overline{)\text{2}}$S
• $\overline{)\text{3}}$T
• $\overline{)\text{4}}$S+1
• $\overline{)\text{5}}$S+K

(2)　このプログラムを実行して，$N$として$10$を入力すると，a(1) から a($\boxed{\text{オ}}$) までと S= $\boxed{\text{カキ}}$が表示される．このとき，150 行は$\boxed{\text{ク}}$回実行され，そのうち$\boxed{\text{ケ}}$回は 160 行の実行に進んだ．

(3)　最初のプログラムで 140 行を

140 IF INT(K/2) < K/2 THEN GOTO 160

と変更したのち，$N$ として$10$ を入力すると a(1) から a( $\boxed{\text{コ}}$ ) までと S= $\boxed{\text{サシ}}$が表示される．