2003　北海道大学　後期MathJax

2003　北海道大学　後期

易□　並□　難□

(1)　点 $P$ の座標を $(u, \frac{e^{u} + e^{- u}}{2})$ とするとき，点 $Q$ の座標を求めよ．

(2)　動点 $Q$ の速度の大きさのとり得る範囲を求めよ．

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(1)　 $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n} = \dots$ となる初項の値が $2$ つあることを示し，その値 $p ， q （ p < q ）$ を求めよ．

(2)　 $a$ が $p < a < q$ を満たすとき， $a_{n} < a_{n + 1} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$ を示せ．

(3)　(2)と同じ条件のもとで $\lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ を示せ．

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【３】　 $x y z$ 空間において，

を考える．

(1)　 $A$ と $B$ で囲まれる立体内に中心をもち， $A$ と $B$ にそれぞれ一点で接する球面を $C$ とおく． $C$ の中心の座標を $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ とするとき， $z_{0}$ を $x_{0} ， y_{0}$ の式で表せ．

(2)　(1)で得た式を $z_{0} = f (x_{0}, y_{0})$ とする．このとき，不等式

$f (x, y) ≦ z ≦ \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} ， x^{2} + y^{2} ≦ 1$

で定まる立体の体積を求めよ．

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(1)　 $a d - b c = 0$ を示せ．

(2)　 $A^{2} = O$ を示せ．

　ただし $O$ は零行列を表す．